湖南省长沙市学年高三模拟一数学理试题 Word版含答案Word文档格式.docx
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12
学习成绩不优秀
16
2
18
20
10
30
附表:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
经计算
,则下列选项正确的是:
()
A.有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响
B.有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响
C.有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响
D.有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响
8.函数
的单调递增区间是()
9.非负实数
满足
,则关于
的最大值和最小值分别为()
A.2和1B.2和-1C.1和-1D.2和-2
10.如果执行如图所示的程序框图,则输出的数
不可能是()
A.0.7B.0.75C.0.8D.0.9
11.已知函数
的语句为假的是()
C.
D.
,使得
12.已知双曲线
经过抛物线
的焦点,且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形,则双曲线
的离心率是()
A.2B.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.
__________.
14.
的周长等于
,则其外接圆半径等于_________.
15.
分别为双曲线
左、右支上的点,设
是平行于
轴的单位向量,则
的最小值为___________.
16.已知
是定义在
上的偶函数,令
是
的等差中项,则
___________.
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
已知数列
.
(1)求
的通项公式;
(2)求
的前
项和.
18.(本小题满分12分)
空气质量指数(AirQualityIndex,简称
)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照
大小分为六级,
为优;
为轻度污染;
为中度污染;
为重度污染;
为严重污染.
一环保人士记录去年某地某月10天的
的茎叶图如右.
(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(
)的天数;
(按这个月总共30天计算)
(2)将频率视为概率,从本月中随机抽取3天,记空气质量优良的天数为
,求
的概率分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)
如图,矩形
垂直于正方形
垂直于平面
.且
(1)证明:
面
;
(2)求二面角
的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆
的离心率为
上一点.
(1)求椭圆
的方程;
(2)设
分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点,平行于
的直线
交
于异于
的两点
.点
关于原点的对称点为
.证明:
直线
与
轴围成的三角形是等腰三角形.
21.(本小题满分12分)
已知函数
(
为常数)有两个极值点.
(1)求实数
的取值范围;
的两个极值点分别为
.若不等式
恒成立,求
的最小值.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,
是以
为直径的半圆上两点,且
(1)若
,证明:
平分
(2)作
于
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
的直角坐标方程;
(2)曲线
的参数方程为
为参数),求
的公共点的极坐标.
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
设
均为实数.
(2)若
参考答案
一、选择题
题号
1
3
5
6
7
9
11
答案
D
A
B
C
二、填空题
13.
14.115.416.4028
三、解答题
17.【解析】
(1)当
时,由题设知
当
时,由题设
,知
两式相减得:
,
即
故
的通项公式为
.........................6分
项和为
则
两式相减得
...............................................12分
18.【解析】
(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2,空气质量良的天数为4,故该样本中空气质量优良的频率为
,从而估计该月空气质量优良的天数为
...............5分
(2)由
(1)估计某天空气质量优良的概率为
的所有可能取值为0,1,2,3.
的分布列为:
显然
..................................12分
19.【解析】解法一:
(1)
如图,设
中点为
,连结
不妨设
因为
,故
从而在等腰
,等腰
中分别求得
此时在
中有
所以
是等腰
底边中点,所以
平面
因此面
.............................6分
(2)如图延长
,设交点为
,作
,垂足为
从而
,又因为
,从而
即为二面角
的平面角,
在直角
中可求得
于是在
所以二面角
的余弦值为
................................ 12分
解法二:
(1)如图,建立空间直角坐标系
.
则由题设条件可知:
设面
的法向量为
由
得:
可取
知,可取
于是
所以面
................................6分
(2)
,可取
,故取平面
因此
...................12分
20.【解析】
(1)因为
离心率为
,所以
的方程为:
..................................2分
代入
解得:
所以椭圆
...................................4分
(2)由题设知
的坐标分别为
因此直线
的斜率为
设直线
时,不妨设
分别设直线
则要证直线
轴围成的三角形是等腰三角形,
只需证
而
所以直线
轴转成的三角形是等腰三角形......................12分
21.【解析】
有两个极值点需要二次方程
有两正根,
设其两根为
,解得
,不妨设
上
的两个极值点,符合题意.
的取值范围是
...........................................5分
令
在
上单调递减,
可无限接近
又因为
,故不等式
等价于
的最小值为
......................................12分
22.【解析】
(1)由题设
可知,
,因此,
...............................4分
(2)由
知,
为直径,所以
,而
..................................10分
23.【解析】
(1)将
........4分
(2)由题设可知,
是过坐标原点,倾斜角为
的直线,
或
将
,解得:
同理,将
,不合题意.
公共点的极坐标为
......................................10分
24.【解析】
...........5分
(2)由
(1)知,
............................10分
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