高中数学北师大版选修11《椭圆的简单性质的应用》word导学案Word格式.docx
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=1(a>
0),联立两方程,消去y(或x)得到一元二次方程,其判别式记为Δ,则如何判断直线l与椭圆C的位置关系?
若直线l交椭圆C于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点,则线段AB叫作椭圆的弦,那么弦长公式是什么?
①Δ>
0⇔l与C ;
②Δ=0⇔l与C ;
③Δ<
0⇔l与C .
|AB|= =
问题3:
椭圆中的几个重要基本量
①通径(过焦点与长轴垂直的弦)的长为 ;
②椭圆上的点到焦点的最大距离和最小距离分别为 和 .
1.若椭圆两焦点为F1(-4,0)、F2(4,0),P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积是12,则椭圆方程是( ).
A.
=1 B.
=1C.
=1D.
=1
2.已知椭圆
0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若
=2
则椭圆的离心率是( ).
B.
C.
D.
3.已知焦点在x轴上的椭圆
=1的离心率为
则m= .
4.已知椭圆长轴长是短轴长的2倍,且过点A(2,-6),求椭圆的标准方程.
弦长问题
已知椭圆
+y2=1,过点(2,0)且斜率为1的直线交椭圆于A,B两点,求弦AB的长.
中点弦问题
已知中心在原点且一个焦点为F(0,
)的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标是
求此椭圆方程.
直线与椭圆的位置关系在解题中的应用
已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P,Q两点,且OP⊥OQ,|PQ|=
求椭圆的方程.
斜率为1的直线l与椭圆
+y2=1相交于A、B两点,求|AB|的最大值.
椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1交于M,N两点,MN的中点为P,且OP的斜率为
则
的值为( ).
B.
C.
D.
+y2=1和点M(-3,0)、N(0,-2),直线l过点M与椭圆相交于A,B两点.试问:
∠ANB可以为钝角吗?
如果你认为可以,请求出当∠ANB为钝角时,直线l的斜率k的取值范围;
如果你认为不能,请加以证明.
1.设AB是过椭圆
=1的一个焦点F的弦,若AB的长为
则直线AB的斜率为( ).
A.±
B.±
2 C.±
1 D.±
2.椭圆
=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是( ).
B.±
C.±
D.±
3.椭圆
=1的焦点在直线x+ay+3=0的两侧,则a的取值范围为 .
4.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
(2013年·
江西卷)椭圆C:
0)的离心率e=
a+b=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明:
2m-k为定值.
考题变式(我来改编):
知识体系梳理
(1)焦点
(2)x=±
a,y=±
b (3)离心率 (4)中心对称 (5)2a 2b (6)a2=b2+c2
①相交 ②相切 ③相离
①
②a+c a-c
基础学习交流
1.C 由题意得c=4.∵P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积为12,∴
×
2c×
b=12,即bc=12,∴b=3,a=5,故椭圆方程为
=1.
2.D 本题主要考查椭圆及椭圆的几何性质.画出草图,可知△BAF∽△PAO,∴|AP|∶|PB|=|AO|∶|OF|,而|AO|=a,|FO|=c,∴
=2,即e=
.
3.
由题意知a2=2,b2=m,∴c2=2-m.∴
=
∴m=
4.解:
(法一)依题意a=2b.
①当焦点在x轴上时,设椭圆方程为
代入点A(2,-6)坐标,得
=1,解得b2=37,
∴a2=4b2=4×
37=148,
∴椭圆的标准方程为
②当焦点在y轴上时,设椭圆方程为
代入点A(2,-6)坐标得
=1,
∴b2=13,∴a2=52.
=1.综上所述,所求椭圆的标准方程为
=1或
(法二)设椭圆方程为
=1(m>
0,n>
0,m≠n),
由已知椭圆过点A(2,-6),所以有
=1.①
由题设知a=2b,∴m=4n,②
或n=4m,③
由①②可解得n=37,∴m=148.
由①③可解得m=13,∴n=52.
∴所求椭圆的标准方程为
重点难点探究
探究一:
【解析】由题意可得直线方程为y=x-2,与椭圆方程联立
消去y得5x2-16x+12=0,则Δ>
0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得x1+x2=
x1x2=
代入弦长公式得:
|AB|=
·
【小结】本题也可以求出两个交点的坐标,代入两点间的距离公式求解.
探究二:
【解析】因为椭圆中心在原点,一个焦点为F(0,
),
所以可设椭圆方程为
=1,设弦的两端点分别是A(x1,y1),B(x2,y2).
由弦的中点的横坐标是
得中点坐标是(
-
),所以x1+x2=1,y1+y2=-1,
又A,B都在椭圆上,所以
两式相减得:
=0,
所以
-
=0⇒
=3⇒b2=25,
即所求椭圆方程为
【小结】
(1)领会待定系数法、消元法;
(2)“点差法”经常用来解决弦的中点问题,构造出kAB=
和x1+x2,y1+y2,运用整体代入的方法,求中点或斜率,体现“设而不求”的思想.本题还可以通过联立方程组,用韦达定理建立关于b2的等式.
探究三:
【解析】设所求椭圆的方程为
依题意知点P,Q的坐标满足方程组
将②代入①整理得(a2+b2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0.③
设方程③的两个根分别为x1,x2.则由P,Q在直线y=x+1上,且P,Q为直线与椭圆的交点,得P(x1,x1+1),Q(x2,x2+1).
∴
整理得
由④⑤可解得
或
由根与系数的关系以及③式,
得
解方程组得
故所求椭圆方程为
【小结】在处理直线与椭圆位置关系时,经常需要联立二者方程,转化为一元二次方程的根与系数的关系问题.
思维拓展应用
应用一:
设直线方程为y=x-t,代入椭圆方程得:
5x2-8tx+4t2-4=0,
由Δ>
0得-
<
t<
设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得
x1+x2=
≤
当t=0时取得最大值.
应用二:
A 设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),点P的坐标为(x0,y0),
则m
+n
=1,m
=1,两式相减得
m(x1+x2)(x1-x2)+n(y1+y2)(y1-y2)=0,
则
=-
(-1)=
应用三:
∠ANB不可能为钝角,证明如下:
如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x+3).
由
得(1+2k2)x2+12k2x+18k2-2=0.
由根与系数的关系得x1+x2=-
①
x1·
x2=
②
又∵
=(x1,y1+2),
=(x2,y2+2),
若∠ANB为钝角,则
0,
即x1·
x2+(y1+2)·
(y2+2)<
x2+y1·
y2+2(y1+y2)+4<
0, ③
而y1=k(x1+3), ④
y2=k(x2+3), ⑤
∴将④⑤代入③整理得(1+k2)x1x2+(3k2+2k)(x1+x2)+9k2+12k+4<
0,⑥
将①②代入⑥,得(1+k2)·
+(3k2+2k)·
(-
)+9k2+12k+4<
整理得33k2+12k+2<
0,整理得Δ=144-4×
33×
2=-120<
0,∴k不存在,故∠ANB不可能为钝角.
基础智能检测
1.C 设AB所在直线为y=k(x-1),代入椭圆方程得
(4+5k2)x2-10k2x+5k2-20=0,
|x1-x2|
得k=±
1.
2.A 由条件可得F1(-3,0),PF1的中点在y轴上,
∴点P的坐标为(3,y0),又P在
=1的椭圆上,得y0=±
∴点M的坐标为(0,±
),故选A.
3.(-∞,-1)∪(1,+∞) 焦点(0,±
3),(3a+3)(-3a+3)<
0,∴a>
1或a<
-1.
(1)由
得5x2+2mx+m2-1=0.
因为直线与椭圆有公共
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