高考数学一轮复习必备第9799课时第十三章+导数导数的应用2含详细答案解析Word格式文档下载.docx

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4．（5分）求函数f（x）=x3﹣3x在[﹣3，3]上的最大值是（　　）

A．2B．﹣2C．﹣18D．18

5．（5分）函数

在（　　）

A．（﹣∞，+∞）内是增函数

B．（﹣∞，+∞）内是减函数

C．（﹣1，1）内是增函数，在其余区间内是减函数

D．（﹣1，1）内是减函数，在其余区间内是增函数

6．（5分）已知f（x）=（x+1）n且f′（x）展成关于x的多项式，其中x2的系数为60，则n=（　　）

A．7B．6C．5D．4

7．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（　　）

A．﹣1＜a＜2B．﹣3＜a＜6C．a＜﹣3或a＞6D．a＜﹣1或a＞2

8．（5分）函数f（x）=sin3x+3cosx的值域为（　　）

A．[﹣4，4]B．[﹣3，3]C．[﹣4，4）D．（﹣3，3）

9．（5分）若函数f（x）=4x3+bx2+ax+5当

、x=﹣1时有极值，则（　　）

A．a=﹣18，b=﹣3B．a=﹣18，b=3C．a=18，b=﹣3D．a=18，b=3

10．（5分）若不等式3cos3x﹣2cos2x+1≤k对任何x∈R都成立，则实数k的最小值为（　　）

A．﹣4B．

C．2D．3

11．（5分）已知函数

在（﹣∞，+∞）上是增函数，则m的取值范围是（　　）

A．m＜﹣4或m＞﹣2B．﹣4＜m＜﹣2C．2≤m≤4D．m＜2或m＞4

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

12．（5分）函数y=x+2cosx在区间[0，π]上的最大值为　　．

13．（5分）若函数y=a（x3﹣x）的减区间为

，则a的取值范围为　　．

14．（5分）函数

上的最小值是　　．

15．（5分）已知函数f（x）=

在R上可导，则a=　　，b=　　．

三、解答题（共17小题，满分0分）

16．已知函数f（x）=x2（x﹣1），若f′（x0）=x0，求x0的值．

17．已知f（x）是R上的可导函数．

（1）f（﹣x）在x=a处的导数值与f（x）在x=﹣a处的导数值有什么关系？

（2）若f（x）为偶函数，f′（x）的奇偶性如何？

18．设x=﹣2与x=4是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．

（1）求常数a、b；

（2）判断x=﹣2，x=4是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由．

19．（12分）准备两张同样大小的正方形纸片．

（1）取准备好的一张正方形纸片，将它的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图），再折合成一个无盖的长方体盒子．做成的长方体盒子的底面的边长为6cm，容积为108cm3，那么原正方形纸片的边长为多少？

（2）取准备好的另一张正方形纸片，这张纸片恰好可做成圆柱形食品罐侧面的包装纸（不计接口部分），这个食品罐的体积是多少？

（结果保留π）

20．设函数f（x）=

（a∈R），为使f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

21．已知椭圆

+

=1，（a＞b＞0）的长轴为AB，以AB为底边作椭圆的内接等腰梯形ABCD，求此等腰梯形面积的最大值．

22．用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长1m，那么底面的底边，腰及容器的高为多少时容器的容积最大？

（参考数据2.662=7.0756，3.342=11.1556）

23．设函数f（x）在区间（﹣a，a）（a＞0）内为奇函数且可导，证明：

f′（x）是（﹣a，a）内的偶函数．

24．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，求a，b，c的值．

25．已知f（x）=x3+ax2+bx+c有极大值f（α）和极小值f（β）．

（1）求f（α）+f（β）的值；

（2）设曲线y=f（x）的极值点为A、B，求证：

线段AB的中点在y=f（x）上．

26．设函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1的极值点是0和4．

（1）求常数k的值；

（2）确定函数f（x）的单调区间；

（3）求f（x）的极值．

27．求证：

ex≥x+1．

28．（9分）已知函数f（x）=ax3﹣6ax2+b，问是否存在实数a、b使f（x）在[﹣1，2]上取得最大值3，最小值﹣29，若存在，求出a、b的值．并指出函数的单调区间．若不存在，请说明理由．

29．设a＞0，求函数f（x）=

﹣ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间．

30．某花生种植基地原有花生品种每公顷产量为3000千克，出油率为55%．改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2025千克．已知新品种花生的公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率的增长率是公顷产量增长率的一半，求新品种花生每公顷产量的增长率（结果精确到1%）．

31．从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边为x的正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方形铁盒，要求长方体的高度与底面边的比值不超过常数t（t＞0）．试问当x取何值时，容量V有最大值．

32．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K（K＞0），贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去．

（1）若存款的利率为x，x∈（0，0.048），试写出存款量g（x）及银行应支付给储户的利息h（x）的关系式；

（2）存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？

参考答案与试题解析

【分析】分别求出四个答案的导数，把x=0代入即可得到答案．

【解答】解：

A选项y=x（1﹣x）的导函数y′=﹣2x+1，令x=0得到y′=1；

B选项y=x+e﹣x的导函数y′=1﹣e﹣x，令x=0得到y′=0；

C选项y=ln（1﹣x2）的导函数y′=

，令x=0得到y′=0；

D选项y=x2•ex的导函数y′=2xex+x2•ex，令x=0得到y′=0．

故选：

A．

【点评】考查学生导数的运算能力．

【分析】先对函数进行求导，然后然后令导函数等于0找出可能的极值点，再判断函数的单调性确定最后答案．

∵y=（x2﹣4）3+1∴y'

=3（x2﹣4）2×

2x=6x（x2﹣4）2

令y'

=6x（x2﹣4）2=0∴x=0或x=±

2

又当y'

＞0时，即x＞0原函数单调递增

当y'

＜0时，即x＜0时原函数单调递减

∴当x=0时，y有极小值且极小值为﹣63

B．

【点评】本题主要考查函数极值的求法，导数是高等数学下放到中学的知识，是高考的热点问题．

【分析】根据y=8x2﹣lnx，求导，根据不等式的基本性质分析导函数在区间（0，

，1）内的符号，确定函数的单调性．

y′=16x﹣

．

当x∈（0，

）时，y′＜0，y=8x2﹣lnx为减函数；

当x∈（

，1）时，y′＞0，y=8x2﹣lnx为增函数．

C．

【点评】考查利用导数研究函数的单调性，注意导数的符号和原函数的单调区间之间的关系，以及函数的定义域，属基础题．

【分析】借助于导数，将三次函数“f（x）=x3﹣3x”的最值问题转化为二次函数进行研究．此题只须求出函数的导函数，利用导数求解．

f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），

令f′（x）=0，则x=﹣1或x=1，

经验证x=﹣1和x=1为极值点，即f

（1）=﹣2为极小值，f（﹣1）=2为极大值．

又因为f（﹣3）=﹣18，f（3）=18，所以函数f（x）的最大值为18．

D．

【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．

【分析】对函数

进行求导，当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．

∵函数

∴y'

=

＞0时，解得﹣1＜x＜1故原函数的增区间为：

（﹣1，1）

＜0时，解得x＜﹣1或x＞1故原函数的减区间为：

（﹣∞，﹣1），（1，+∞）

【点评】本题主要考查通过求函数的导数来确定原函数单调区间的问题．导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．

【分析】利用幂函数的导数法则求出f′（x），据二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出x2的系数，列出方程解得．

∵f（x）=（x+1）n

∴f′（x）=n（x+1）n﹣1

∵（x+1）n﹣1的展开式的通项为Tr+1=Cn﹣1rxr

∴f′（x）=n（x+1）n﹣1的展开式的x2的系数为nCn﹣12

∵x2的系数为60

∴nCn﹣12=60解得n=6故选项为B

【点评】本题考查导数法则及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．

【分析】题目中条件：

“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决．

由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，

有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．

若f（x）有极大值和极小值，

则△=4a2﹣12（a+6）＞0，

从而有a＞6或a＜﹣3，

故选