版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 32 立体几何中的向量方法3向量法解决空间角和距离问题学案Word文档格式.docx

版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 32 立体几何中的向量方法3向量法解决空间角和距离问题学案Word文档格式.docx

《版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 32 立体几何中的向量方法3向量法解决空间角和距离问题学案Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 32 立体几何中的向量方法3向量法解决空间角和距离问题学案Word文档格式.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

②先求出二面角一个面内一点到另一面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角.

如图所示，已知二面角α－l－β，在α内取一点P，过P作PO⊥β，PA⊥l，垂足分别为O，A，连接AO，则AO⊥l成立，所以∠PAO就是二面角的平面角.

③先求出二面角的两个半平面的法向量的夹角，然后结合图形与题意判断求出的是二面角的大小，还是它的补角的大小，从而确定二面角的大小.

知识点二　利用空间向量求距离

思考1　求点到直线距离的常用方法有哪些？

答案　

（1）找垂线段，求其长度；

（2）利用等面积法；

（3）借助向量的模，利用数量积的几何意义求解.

思考2　求点到平面的距离的常用方法有哪些？

答案　

（1）确定垂线段法；

（2）等体积法；

（3）空间向量法.

梳理　

（1）点到直线的距离

已知直线l是由向量a所确定的直线，P∈l，P0∉l，如图，在l上的射影长为||cos〈，a〉＝，

则点P0到直线l的距离d＝＝.

（2）点到平面的距离

用空间向量法求点到平面的距离具体步骤如下：

先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长.如图，设n＝（a，b，c）是平面α的一个法向量，P0（x0，y0，z0）为α外一点，P（x，y，z）是平面α内的任意一点，则点P0到平面α的距离d＝＝.

线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离，因此，只要掌握点到平面距离的求法，就可解决其他的距离问题.

类型一　求两条异面直线所成的角

例1　如图，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°

，∠AOB＝90°

，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.

解　建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），O1（0，1，），A（，0，0），A1（，1，），B（0，2，0），

∴＝（－，1，－），＝（，－1，－）.

∴|cos〈，〉|＝＝＝.

∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.

反思与感悟　在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解.但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别.

跟踪训练1　已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值.

解　不妨设正方体棱长为2，分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则

A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2），

则＝（－1，0，2），＝（1，－1，2），

∴||＝，||＝，·

＝－1＋0＋4＝3.

又·

＝||||cos〈，〉＝cos〈，〉，

∴cos〈，〉＝，

∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为.

类型二　求直线和平面所成的角

例2　已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角.

解　建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0，a），C1，

方法一　取A1B1的中点M，

则M（0，，a），连接AM，MC1，

有＝（－a，0，0），＝（0，a，0），＝（0，0，a）.

∴·

＝0，·

＝0，

∴⊥，⊥，

则MC1⊥AB，MC1⊥AA1，

又AB∩AA1＝A，

∴MC1⊥平面ABB1A1.

∴∠C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角.

由于＝，＝（0，，a），

＝0＋＋2a2＝，

||＝＝a，

∴cos〈，〉＝＝.

∵〈，〉∈[0°

，180°

]，∴〈，〉＝30°

，

又直线与平面所成的角在[0°

，90°

]范围内，

∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°

.

方法二　＝（0，a，0），＝（0，0，a），＝.

设侧面ABB1A1的法向量为n＝（λ，y，z），

∴n·

＝0且n·

＝0.∴ay＝0且az＝0.

∴y＝z＝0.故n＝（λ，0，0）.

∵＝，

∴cos〈，n〉＝＝－，

∴|cos〈，n〉|＝.

反思与感悟　用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算.

跟踪训练2　如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值.

解　由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系（如图所示）.

设AB＝1，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D，S（0，0，1）.

∴＝（0，0，1），＝（－1，－1，1）.

显然是底面的法向量，它与已知向量的夹角β＝90°

－θ，

故有sinθ＝cosβ＝＝＝，

∵θ∈[0°

]，

∴cosθ＝＝.

类型三　求二面角

例3　在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角.

解　方法一　如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD与AC交于点O，取AD中点F，

则C（b，0，0），B（0，a，0），＝.

∴D（b，－a，0），P（0，0，a），

∴E，O，＝，＝（b，0，0）.

∵·

∴⊥，＝＝，·

＝0.

∴⊥.

∴∠EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角（或补角）.

cos〈，〉＝＝.

∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°

方法二　建系如方法一，

∵PA⊥平面ABCD，

∴＝（0，0，a）为平面ABCD的法向量，

＝，＝（b，0，0）.

设平面AEC的法向量为m＝（x，y，z）.

由

得

∴x＝0，y＝z.∴取m＝（0，1，1），

cos〈m，〉＝＝＝.

∴平面AEC与平面ABCD的夹角为45°

反思与感悟　

（1）当空间直角坐标系容易建立（有特殊的位置关系）时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小（相等或互补），但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.

（2）注意法向量的方向：

一进一出，二面角等于法向量夹角；

同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.

跟踪训练3　若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求二面角A－PB－C的余弦值.

解　如图所示建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），B（，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），

故＝（0，0，1），＝（，1，0），＝（，0，0），＝（0，－1，1），

设平面PAB的法向量为m＝（x，y，z），

则⇒⇒令x＝1，

则y＝－，故m＝（1，－，0）.

设平面PBC的法向量为n＝（x′，y′，z′），

则⇒⇒

令y′＝－1，则z′＝－1，故n＝（0，－1，－1），

∴cos〈m，n〉＝＝.

又∵二面角A－PB－C是钝二面角，

∴二面角A－PB－C的余弦值为－.

类型四　向量法解决距离问题

命题角度1　点线距离

例4　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离.

解　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.

设DA＝2，则A（2，0，0），E（0，2，1），F（1，0，2），＝（1，－2，1），＝（1，0，－2）.

∴||＝＝，

·

＝1×

1＋0×

（－2）＋（－2）×

1＝－1，

∴在上的投影为＝.

∴点A到直线EF的距离d＝＝＝.

反思与感悟　用向量法求点到直线的距离的一般步骤

（1）建立空间直角坐标系.

（2）求直线的方向向量.

（3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影.

（4）利用勾股定理求点到直线的距离.

另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.

跟踪训练4　如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离.

解　∵AB＝1，BC＝2，AA′＝3，

∴A′（0，0，3），C（1，2，0），B（1，0，0），

∴＝（1，2，－3）.

又∵＝（0，2，0），

∴点B到直线A′C的距离d＝＝＝.

命题角度2　点面距离

例5　已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离.

解　建立如图所示的空间直角坐标系，则G（0，0，2），E（4，－2，0），F（2，－4，0），B（4，0，0），＝（4，－2，－2），＝（2，－4，－2），＝（0，－2，0）.

设平面EFG的一个法向量为n＝（x，y，z）.

由得∴x＝－y，z＝－3y.

取y＝1，则n＝（－1，1，－3）.

∴点B到平面EFG的距离d＝＝＝.

反思与感悟　利用向量法求点到平面的距离的一般步骤

（2）求出该平面的一个法向量.

（3）找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.

（4）法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离.

跟踪训练5　在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2.

（1）求证：

A1C∥平面AB1D；

（2）求点C1到平面AB1D的距离.

（1）证明　如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA所在直线为x轴，y轴，过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（1，0，0），B1（－1，0，2），A1（0，，2），A（0，，0），C1（1，0，2），＝（1，－，－2），＝（－1，－，2），＝（0，－，0）.

设平面AB1D的一个法向量为n＝（x，y，z），则

即

令z＝1，则y＝0，x＝2.∴n＝（2，0，1）.

n＝1×

2＋（－）×

0＋（－2）×

1＝0，

∴⊥