版高考复习方案数学历年高考真题与模拟题分类汇编 D单元 数列文科含答案Word文件下载.docx
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1时,记cn=
,求数列{cn}的前n项和Tn.
19.解:
(1)由题意有,
即
解得
或
故
(2)由d>
1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=
,于是Tn=1+
+
+…+
, ①
Tn=
. ②
①-②可得
Tn=2+
-
=3-
,
故Tn=6-
.
7.D2已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=( )
A.
B.
C.10D.12
7.B 由S8=4S4,得8a1+
1=4
,解得a1=
,所以a10=
+(10-1)×
1=
5.D2设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5=( )
A.5B.7
C.9D.11
5.A 因为{an}为等差数列,所以a1+a3+a5=3a3=3,所以a3=1,于是S5=
=5a3=5.
16.D2,D3已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2.
(1)求{an}的通项公式.
(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7.问:
b6与数列{an}的第几项相等?
16.解:
(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a4-a3=2,所以d=2.
又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.
所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a3=8,b3=a7=16,
所以q=2,b1=4.
所以b6=4×
26-1=128.
由128=2n+2得n=63.
所以b6与数列{an}的第63项相等.
19.D2、D4已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列
的前n项和为
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(an+1)·
2an,求数列{bn}的前n项和Tn.
(1)设数列{an}的公差为d.
令n=1,得
=
所以a1a2=3.
令n=2,得
所以a2a3=15.
解得a1=1,d=2,
所以an=2n-1.
(2)由
(1)知bn=2n·
22n-1=n·
4n,
所以Tn=1×
41+2×
42+…+n·
所以4Tn=1×
42+2×
43+…+n·
4n+1,
两式相减,得-3Tn=41+42+…+4n-n·
4n+1
-n·
4n+1-
所以Tn=
4n+1+
13.D2中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为________.
13.5 设首项为a1,则a1+2015=2×
1010,解得a1=5.
16.D2,D3,D4设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(2)设数列
的前n项和为Tn,求Tn.
(1)由已知Sn=2an-a1,有
an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),
即an=2an-1(n≥2).
从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.
又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1),
所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2,
所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
故an=2n.
(2)由
(1)得
=1-
10.D2已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=________,d=________.
10.
-1 由题意得,a
=a2a7,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),所以d(3a1+2d)=0.因为d≠0,所以3a1+2d=0,又2a1+a2=1,所以3a1+d=1,联立
17.D2,D3,D4已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+
b2+
b3+…+
bn=bn+1-1(n∈N*).
(1)求an与bn;
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.
17.解:
(1)由a1=2,an+1=2an,得an=2n(n∈N*).
由题意知,
当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.
当n≥2时,
bn=bn+1-bn,整理得
所以bn=n(n∈N*).
(2)由
(1)知anbn=n·
2n,
因此Tn=2+2·
22+3·
23+…+n·
2Tn=22+2·
23+3·
24+…+n·
2n+1,
所以Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n·
故Tn=(n-1)2n+1+2(n∈N*).
16.D2、D3、D4已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn.
(1)设{an}的公差为d,则由已知条件得
a1+2d=2,3a1+
d=
化简得a1+2d=2,a1+d=
解得a1=1,d=
故通项公式为an=1+
,即an=
(2)由
(1)得b1=1,b4=a15=
=8.
设{bn}的公比为q,则q3=
=8,从而q=2,
故{bn}的前n项和
=2n-1.
20.D2、D3、D5设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.
(1)证明:
2a1,2a2,2a3,2a4依次构成等比数列.
(2)是否存在a1,d,使得a1,a
,a
依次构成等比数列?
并说明理由.
(3)是否存在a1,d及正整数n,k,使得a
20.解:
因为
=2an+1-an=2d(n=1,2,3)是同一个常数,
所以2a1,2a2,2a3,2a4依次构成等比数列.
(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>
d,a>
-2d,d≠0).
假设存在a1,d,使得a1,a
依次构成等比数列,
则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.
令t=
,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4
化简得t3+2t2-2=0(*),且t2=t+1.
将t2=t+1代入(*)式,
得t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-
显然t=-
不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,
因此不存在a1,d,使得a1,a
依次构成等比数列.
(3)假设存在a1,d及正整数n,k,使得a
则a
(a1+2d)n+2k=(a1+d)2(n+k),
且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k).
分别在两个等式的两边同除以a
及a
,并令t=
则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k).
将上述两个等式两边取对数,得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)ln(1+t),且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t),
化简得2k=n,
且k=n.
再将这两式相除,化简得
ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t)(**).
令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)-ln(1+3t)ln(1+2t)-3ln(1+2t)ln(1+t),则g′(t)=
令φ(t)=(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t),
则φ′(t)=6.
令φ1(t)=φ′(t),则φ′1(t)=6.
令φ2(t)=φ′1(t),则φ′2(t)=
>
0.
由g(0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ′2(t)>
0,
知φ2(t),φ1(t),φ(t),g(t)在
和(0,+∞)上均单调.
故g(t)只有唯一零点t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假设不成立,
所以不存在a1,d及正整数n,k,使得a
D3 等比数列及等比数列前n项和
18.D3、D4已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.
(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=
,求数列{bn}的前n项和Tn.
18.解:
(1)由题设知a1a4=a2a3=8,
又a1+a4=9,可解得
(舍去).
由a4=a1q3得公比q=2,故an=a1qn-1=2n-1.
(2)Sn=
=2n-1,又bn=
所以Tn=b1+b2+…+bn=
13.D3若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2
,c=5-2
,则b=________.
13.1 因为三个正数a,b,c成等比数列,所以b2=ac=(5+2
)(5-2
)=1.因为b>
0,所以b=1.
13.D3在数列{an}中,a1=2,
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