届高三教学质量监测一数学文试题文档格式.docx
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又∵
5.已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为0时,输入的的值为()
A.-3B.-3或9C.3或-9D.-9或-3
【解析】结合流程图可知,该流程图等价于计算分段函数:
的函数值,
且函数值为,据此分类讨论:
当时,;
综上可得,输入的实数的值为或.
本题选择B选项.
6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是()
【答案】A
【解析】由三视图可得该几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,底面为正方形,如图所示:
其中,平面,,底面是边长为2的正方形
∴,
∴,同理可得
∴该四棱锥的侧面积为
故选A
点睛:
思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;
俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;
侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.
7.在等差数列中,若为前项和,,则的值是()
A.55B.11C.50D.60
【解析】设等差数列的首项为,公差为
8.甲、乙、丙三人中,一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知:
丙的年龄比医生大;
甲的年龄和记者不同;
记者的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是()
A.甲是教师,乙是医生,丙是记者
B.甲是医生,乙是记者,丙是教师
C.甲是医生,乙是教师,丙是记者
D.甲是记者,乙是医生,丙是教师
【解析】由甲的年龄和记者不同和记者的年龄比乙小可以推得丙是记者,再由丙的年龄比医生大,可知甲是医生,故乙是教师.
9.已知函数,以下命题中假命题是()
A.函数的图象关于直线对称
B.是函数的一个零点
C.函数的图象可由的图象向左平移个单位得到
D.函数在上是增函数
【解析】∵函数
∴当时,取得最大值,故A正确
∴是函数的一个零点,故B正确
∴的图象由的图象向左平移个单位得到,故C错误
∵的周期为,区间的长度为,且当时,取得最大值
∴函数在上是增函数,故D正确
10.设函数,则()
A.为的极大值点B.为的极小值点
C.为的极大值点D.为的极小值点
【答案】D
∴令,得,即函数在上为减函数
令,得,即函数在上为增函数
∴为的极小值点
故选D
由导函数的图像判断导函数值的正负,再得函数的单调性,可得函数的极值、最值、函数值的大小.
11.已知双曲线,为坐标原点,为双曲线的右焦点,以为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点,若,则双曲线的离心率为()
A.2B.C.D.
【解析】由题可得与圆相交的渐近线方程为,点在轴上方,且
∵
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
求出,,代入公式;
②只需要根据一个条件得到关于,,的齐次式,结合转化为,的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范围).
12.设函数是定义在上的偶函数,且,当时,,则在区间内关于的方程解的个数为()
A.1B.2C.3D.4
【解析】对于任意的,都有
∴函数是一个周期函数,且
又∵当时,,且函数是定义在上的偶函数
∴作出与在区间内的函数图象,如图所示
∴交点个数为3个
函数零点个数问题,一种方法可用导数研究函数的单调性和极值,再结合零点存在定理得函数的零点个数,另一种方法是转化函数图象交点个数,在同一平面直角坐标系中,作出函数的图象,然后根据数形结合求解.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.设变量满足约束条件:
,则的最小值为__________.
【答案】-10
【解析】作出可行域如图所示:
由得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最大,此时最小
由得,此时
故答案为
14.已知抛物线的一条弦恰好以为中点,则弦所在直线方程是__________.
【答案】
【解析】设,,弦所在直线方程为,则,
∵,在抛物线上
∴弦所在直线方程为
弦中点问题解法一般为设而不求,关键是求出弦所在直线方程的斜率,方法一利用点差法,列出有关弦的中点及弦斜率之间关系求解;
方法二是直接设出斜率,利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.
15.在数列中,,,,则__________.
∵,
∴数列是以首项1,公比为2的等比数列
16.已知正四棱锥中,,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为__________.
【答案】6
【解析】设正四棱锥的底面边长为,则高为
∴该棱锥的体积为
设,则
∴令,则,即在上为减函数
令,则,即在上为增函数
∴当时,,即棱锥的体积最大,此时
故答案为6
解函数应用题的一般程序:
第一步:
审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;
第二步:
建模——将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型;
第三步:
求模——求解数学模型,得到数学结论;
第四步:
还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义;
第五步:
反思回顾——对于数学模型得到的数学结果,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.在中,角所对的边分别为,且,.
(1)求的面积;
(2)若,求的值.
(1)
(2).
【解析】试题分析:
(1)利用二倍角公式由已知可得;
根据向量的数量积运算,由得,再由三角形面积公式去求的面积.
(2)由
(1)知,又,解方程组可得或,再由余弦定理去求的值.
试题解析:
(1)因为,所以
又,所以,由,得,所以
故的面积
(2)由,且得或
由余弦定理得,故
考点:
(1)二倍角公式及同角三角函数基本关系式;
(2)余弦定理.
18.高中生在被问及“家,朋友聚集的地方,个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?
”这个问题时,从中国某城市的高中生中,随机抽取了55人,从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是:
选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情况是:
朋友聚集的地方占、家占、个人空间占.
(1)请根据以上调查结果将下面列联表补充完整;
并判断能否有的把握认为“恋家(在家里感到最幸福)”与国别有关;
在家里最幸福
在其它场所幸福
合计
中国高中生
美国高中生
(Ⅰ)请将列联表补充完整;
试判断能否有的把握认为“恋家”与否与国别有关;
(Ⅱ)从被调查的不“恋家”的美国学生中,用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查,再从4人中随机抽取2人到中国交流学习,求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.
附:
,其中.
0.050
0.025
0.010
0.001
3.841
5.024
6.635
10.828
(1)见解析
(2).
(Ⅰ)根据题意填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论;
(Ⅱ)用分层抽样方法抽出4人,其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人,在“个人空间”感到幸福的有1人,分别设为,再设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件,求出基本事件数,即可求得概率值.
(Ⅰ)由已知得
22
33
55
9
36
45
31
69
100
∴
∴有的把握认为“恋家”与否与国别有关.
(Ⅱ)用分层抽样的方法抽出4人,其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人,在“个人空间”感到幸福的有1人,分别设为.
∴.
设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件,
,
∴.则.
19.如图,在四棱锥中,底面,,,,为上一点,且.
(1)求证:
平面;
(2)若,,,求三棱锥的体积.
(1)法一:
过作交于点,连接,由,推出,结合与,即可推出四边形为平行四边形,即可证明结论;
法二:
过点作于点,为垂足,连接,由题意,,则,即可推出四边形为平行四边形,再由平面,可推出,即可得证平面平面,从而得证结论;
(2)过作的垂线,垂足为,结合平面,可推出平面,由平面,可得到平面的距离等于到平面的距离,即,再根据,,即可求出三棱锥的体积.
过作交于点,连接.
又∵,且,
∴,∴四边形为平行四边形,
又∵平面,平面,
∴平面.
过点作于点,为垂足,连接.
由题意,,则,
又∵,
∴四边形为平行四边形
∵平面,平面
又
又∵平面,平面;
∵平面,平面,;
∴平面平面.
∵平面
(2)过作的垂线,垂足为.
又∵平面,平面,;
∴平面
由
(1)知,平面,
所以到平面的距离等于到平面的距离,即.
在中,,
.
20.已知椭圆的左、右焦点分别为、,点在椭圆上,且有.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过的直线与椭圆交于、两点,求面积的最大值.
(1)由,得,再由在椭圆上,可得,即可求出椭圆的标准方程;
(2)由已知,直线的斜率为零时,不合题意,设直线方程为,点,,联立,消去,得,结合韦达定理及三角形面积公式,可得,再根据基本不等式即可求出面积的最大值.
(1)由,得,∴.
将代入,得.
∴椭圆的方程为.
(2)由已知,直线的斜率为零时,不合题意,
设直线方程为,点,,
则联立,得,
由韦达定理,得,
,
当且仅当,即时,等号成立.
∴面积的最大值为.
圆锥曲线中求最值或范围时,一般先根据条件建立目标函数,再求这个函数的最值.解题时可从以下几个方面考虑:
①利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解题的关键是在两个参数之间建立等量关系;
③利用基本不等式求出参数的取值范围;
④利用函数的值域的求法,确定参数的取
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