暑期第2讲 一次函数应用 学生版Word文档格式.docx
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能用一次函数解决实际问题
一、图象信息题
【例1】如果等腰三角形的周长为16,那么它的底边长与腰长之间的函数图像为()
【例2】汽车在行驶时,由于惯性作用,刹车后还要向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”。
现甲、乙两车在一个弯道上相向而行,在相距16米的地方发现情况不对,同时刹车,根据有关资料,甲、乙两车刹车距离(米)与车速(千米/时)之间与如图所示。
若甲、乙两车的速度都是60千米/时,两车是否相撞?
说说你的理由。
【例3】某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的过程,开始一段时间风速平均每小时增加2千米;
4小时后,沙尘暴经过开阔荒漠地带,风速平均每小时增加4千米;
此后风速保持不变;
当沙尘暴遇到绿色植被区时,其风速平均每小时减少1千米,最终停止(如图所示)。
(1)在沙尘暴从发生到结束的全过程中,0时至10时风速是否在不断变化?
什么时间内风速保持不变?
(2)在4时和12时的风速各是多少?
图中的A、B分别表示什么?
(3)沙尘暴是经过几个小时后停止的?
【例4】2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震.某市接到上级通知,立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区.乙组由于要携带一些救灾物资,比甲组迟出发1.25小时(从甲组出发时开始计时).图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲(千米)、y乙(千米)与时间x(小时)之间的函数关系对应的图像.请根据图像所提供的信息,解决下列问题:
(1)由于汽车发生故障,甲组在途中停留了 小时;
(2)甲组的汽车排除故障后,立即提速赶往灾区.请问甲组的汽车在排除故障时,距出发点的路程是多少千米?
(3)为了保证及时联络,甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米,请通过计算说明,按图像所表示的走法是否符合约定.
【例5】某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件,该机器运行过程分为加油过程和加工过程;
加工过程中,当油箱中油量为10升时,机器自动停止加工进入加油过程,将油箱加满后继续加工,如此往复.已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完.下图是油箱中油量(升)与机器运行时间(分)之间的函数图象.根据图象回答问题:
(1)求在第一个加工过程中,油箱中油量(升)与机器运行时间(分)之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围);
(2)机器运行多少分钟时,第一个加工过程停止?
(3)加工完这批工件,机器耗油多少升?
【巩固】刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令:
一分队立即出发往30千米的镇;
二分队因疲劳可在营地休息小时再往镇参加救灾。
一分队出发后得知,唯一通往镇的道路在离营地10千米处发生塌方,塌方地形复杂,必须由一分队用1小时打通道路,已知一分队的行进速度为5千米/时,二分队的行进速度为千米/时.
⑴若二分队在营地不休息,问二分队几小时能赶到A镇?
⑵若二分队和一分队同时赶到镇,二分队应在营地休息几小时?
⑶下列图象中,①②分别描述一分队和二分队离镇的距离(千米)和时间(小时)的函数关系,请写出你认为所有可能合理的代号,并说明它们的实际意义.
【例6】甲乙两名同学进行登山比赛,图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中,个自行进的路程随时间变化的图象,根据图象中的有关数据回答下列问题:
⑴分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程(千米)与时间(时)的函数解析式;
(不要求写出自变量的取值范围)
⑵当甲到达山顶时,乙行进到山路上的某点处,求点距山顶的距离;
⑶在⑵的条件下,设乙同学从点继续登山,甲同学到达山顶后休息1小时,沿原路下山,在点处与乙同学相遇,此时点与山顶距离为1.5千米,相遇后甲、乙各自沿原路下山和上山,求乙到大山顶时,甲离山脚的距离是多少千米?
【例7】教室里放有一台饮水机,饮水机上有两个放水管。
课间同学们到饮水机前用茶杯接水。
假设接水过程中水不发生泼洒,每个学声所接的水量是相等的。
两个放水管同时打开时,它们的流量相同。
放水时先打开一个水管,过一会再打开第二个水管,放水过程中阀门一直开着。
饮水机的存水量y(升)与放水时间x(分钟)的函数关系如下图所示:
⑴求出饮水机的存水量(升)与放水时间(分钟)()的函数关系式;
⑵如果打开第一个水管后,2分钟时恰好有4个同学接水接束,则前22个同学接水结束共需要几分钟?
⑶按⑵的放法,求出在课间10分钟内最多有多少个同学能及时接完水?
二、一次函数与几何
【例8】如图所示,已知正比例函数和,过点A(2,0)作x轴的垂线,与这两个正比例函数的图象分别交与B、C两点,求三角形OBC的面积(其中O为坐标原点)。
【例9】已知直线的图象与轴交于两点,直线经过原点,与线段交于点,把的面积分为的两部分,求直线的解析式。
【巩固】如图,在轴上有五个点,它们的横坐标依次为.分别过这些点作轴的垂线与三条直线,,相交,其中,则图中阴影部分的面积是_________.
【例10】已知正比例函数。
(1)画出此函数的图象;
(2)已知点在此函数图象上,其横坐标为2,求出点的坐标,并在图像上标出点;
(3)在轴上是否存在一点,使是等腰直角三角形?
若存在,求出点的坐标;
若不存在,请说明理由。
【例11】如图,在直角梯形中,,上底,下底,是上任意一点,若用表示,四边形的面积用表示.
(1)求与之间的函数关系式;
(2)当四边形的面积是梯形面积的一半时,求点的位置.
【例12】已知直线经过点与点,另一条直线经过点,且与轴交于点.
(1)求直线的解析式。
(2)若的面积为3,求的值。
【巩固】在平面直角坐标系中,轴于点,轴于点,直线与轴、轴分别交于点,且解析式,,求直线的解析式。
【巩固】
(2008济南)已知:
如图,直线与轴交于点,与直线相交于点.
⑴求点的坐标.
⑵请判断的形状并说明理由.
⑶动点从原点出发,以每秒1个单位的速度沿着→→的路线向点匀速运动(与点、重合),过点分别作轴于,轴于.设运动秒时,矩形与重叠部分的面积为.求:
①与之间的函数关系式.
②当为何值时,最大,并求的最大值.
三、方案设计与最值问题
1.购物问题
【例13】东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元,书法练习本每本售价5元,该商场为促销制定了两种优惠办法.
甲:
买一枝毛笔就赠送一本书法练习本.
乙:
按购买金额打九折付款.
某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10枝,书法练习本本.
(1)写出每种优惠办法实际的金额(元),(元)与(本)之间的函数关系式;
(2)比较购买同样多的书法练习本时,按哪种优惠办法付款更省钱;
(3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买,也可以同时选两种优惠办法购买,请你就购买这种毛笔10枝和书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案.
【例14】为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备,现有两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表:
A型
B型
价格(万元/台)
12
10
处理污水量(吨/月)
240
200
年消耗费(万元/台)
1
经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元。
(1)求购买设备的资金万元与购买型台的函数关系,并设计该企业有几种购买方案;
(2)若企业每月产生的污水量为2040吨,利用函数的知识说明,应选择哪种购买方案;
(3)在第
(2)问的条件下,若每台设备的使用年限为10年,污水厂处理污水费为每吨10元,请你计算,该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较,10年节约资金多少万元?
(注:
企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费)
【巩固】甲乙两家超市以相同的价格出售同样的商品,为了吸引顾客,各自推出不同的方案:
甲超市累计购买商品超出300元后,超出部分按原价的8折优惠,在已超市累计购买商品超出200元后,超出部分按原价8.5折优惠。
设顾客预计累计购物X元。
(X>
300)
试比较顾客到哪家超市购物更实惠?
说明理由
2.货物调运及分配问题
【例15】抗震救灾中,某县粮食局为了保证库存粮食的安全,决定将甲、乙两个仓库的粮食,全部转移到具有较强抗震功能的两仓库。
已知甲库有粮食100吨,乙库有粮食80吨,而库的容量为70吨,库的容量为110吨。
从甲、乙两库到两库的路程和运费如下表(表中“元/吨·
千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币)
(1)若甲库运往库粮食吨,请写出将粮食运往两库的总运费(元)与(吨)的函数关系式.
(2)当甲、乙两库各运往两库多少吨粮食时,总运费最省,最省的总运费是多少?
【巩固】A市和B市分别有某种库存机器12台和6台,现决定支援C村10台,D村8台,已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元,从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元.
(1)设B市运往C村机器x台,求总运费W关于x的函数关系式;
(2)若要求总运费不超过9000元,共有几种调运方案?
(3)求出总运费最低的调运方案,最低运费是多少元?
【例16】我县农业结构调整取得了巨大成功,今年水果又喜获丰收,某乡组织30辆汽车装运三种水果共64吨到外地销售,规定每辆汽车只装运一种水果,且必须装满;
又装运每种水果的汽车不少于4辆;
同时,装运的种水果的重量不超过装运的两种水果重量之和.
(1)设用辆汽车装运种水果,用辆汽车装运种水果,根据下表提供的信息,求与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围.
水果品种
A
B
C
每辆汽车运装量(吨)
2.2
2.1
2
每吨水果获利(百元)
6
8
5
(2)设此次外销活动的利润为(万元),求与之间的函数关系式,请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案.
【巩固】某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产两种产品,共50件。
已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克,可获利润700元;
生产一件B种产品,需用甲种原料4千克、乙种原料10千克,可获利润1200元。
(1)要求安排两种产品的生产件数,有哪几种方案?
请你设计出来;
(2)生产两种产品获总利润是y(元),其中一种的生产件数是x,试写出y与x之间的函数关系式,并利用函数的性质说明
(1)中的哪种生产方案获总利润最大?
最大利润是多少?
【例17】我市花石镇组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的湘莲共100吨到外地销售,按计划10辆汽车都要装满,且每辆汽车只能装同一种湘莲,根据下表提供的信息,解答以下问题:
每辆汽车运载量(吨)
每吨湘莲获利(万元)
3
4
(1)设装运A种湘莲的车辆数为x,装运B种湘莲的车辆数为y,求y与x之间的函数关系式;
(2)如果装运每种湘莲的车辆数都不少于2辆,那么车辆的安排方案有几种?
并写出每种安排方案;
(3)若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方案?
并求出最大利润的值.
【巩固】某饮料厂为了开发新产品,用种果汁原料和种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克,设甲种饮料需
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