历年高考真题分类汇编共14套含答案精品打包下载文档格式.docx
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(3)证明:
若数列A满足an-an-1≤1(n=2,3,…,N),则G(A)的元素个数不小于aN-a1.
20.解:
(1)G(A)的元素为2和5.
因为存在an使得an>
a1,所以{i∈N*|2≤i≤N,ai>
a1}≠∅.
记m=min{i∈N*|2≤i≤N,ai>
a1},
则m≥2,且对任意正整数k<
m,ak≤a1<
am.
因此m∈G(A),从而G(A)≠∅.
当aN≤a1时,结论成立.
以下设aN>
a1.
由
(2)知G(A)≠∅.
设G(A)={n1,n2,…,np},n1<
n2<
…<
np.
记n0=1,则an0<
an1<
an2<
anp.
对i=0,1,…,p,记Gi={k∈N*|ni<
k≤N,ak>
ani}.
如果Gi≠∅,取mi=minGi,则对任何1≤k<
mi,ak≤ani<
ami.
从而mi∈G(A)且mi=ni+1.
又因为np是G(A)中的最大元素,所以Gp=∅.
从而对任意np≤k≤N,ak≤anp,特别地,aN≤anp.
对i=0,1,…,p-1,ani+1-1≤ani.
因此ani+1=ani+1-1+(ani+1-ani+1-1)≤ani+1.
所以aN-a1≤anp-a1=(ani-ani-1)≤p.
因此G(A)的元素个数p不小于aN-a1.
1.A1[2016·
江苏卷]已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2<
3},则A∩B=________.
1.{-1,2} [解析]由题意可得A∩B={-1,2}.
20.A1、D3、D5[2016·
江苏卷]记U={1,2,…,100}.对数列{an}(n∈N*)和U的子集T,若T=∅,定义ST=0;
若T={t1,t2,…,tk},定义ST=at1+at2+…+atk.例如:
T={1,3,66}时,ST=a1+a3+a66.现设{an}(n∈N*)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,ST=30.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对任意正整数k(1≤k≤100),若T⊆{1,2,…,k},求证:
ST<
ak+1;
(3)设C⊆U,D⊆U,SC≥SD,求证:
SC+SC∩D≥2SD.
(1)由已知得an=a1·
3n-1,n∈N*.
于是当T={2,4}时,ST=a2+a4=3a1+27a1=30a1.
又ST=30,所以30a1=30,即a1=1,
故数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*.
因为T⊆{1,2,…,k},an=3n-1>
0,n∈N*,
所以ST≤a1+a2+…+ak=1+3+…+3k-1=(3k-1)<
3k.
因此,ST<
ak+1.
下面分三种情况证明.
①若D是C的子集,则SC+SC∩D=SC+SD≥SD+SD=2SD.
②若C是D的子集,则SC+SC∩D=SC+SC=2SC≥2SD.
③若D不是C的子集,且C不是D的子集.
令E=C∩(∁UD),F=D∩(∁UC),则E≠∅,F≠∅,E∩F=∅.
于是SC=SE+SC∩D,SD=SF+SC∩D,进而由SC≥SD,得SE≥SF.
设k是E中最大的数,l为F中最大的数,则k≥1,l≥1,k≠l.
由
(2)知,SE<
ak+1,于是3l-1=al≤SF≤SE<
ak+1=3k,所以l-1<
k,即l≤k.
又k≠l,故l≤k-1,
从而SF≤a1+a2+…+al=1+3+…+3l-1=≤=≤,
故SE≥2SF+1,所以SC-SC∩D≥2(SD-SC∩D)+1,
即SC+SC∩D≥2SD+1.
综合①②③得,SC+SC∩D≥2SD.
1.A1,E3[2016·
全国卷Ⅰ]设集合A={x|x2-4x+3<
0},B={x|2x-3>
0},则A∩B=( )
A.(-3,-)
B.(-3,)
C.1,
D.,3
1.D [解析]集合A=(1,3),B=(,+∞),所以A∩B=(,3).
全国卷Ⅲ]设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>
0},则S∩T=( )
A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)
C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)
1.D [解析]∵S={x|x≥3或x≤2},∴S∩T={x|0<
x≤2或x≥3}.
四川卷]设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )
A.3B.4
C.5D.6
1.C [解析]由题可知,A∩Z={-2,-1,0,1,2},则A∩Z中元素的个数为5.
2.A1[2016·
全国卷Ⅱ]已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<
0,x∈Z},则A∪B=( )
A.{1}
B.{1,2}
C.{0,1,2,3}
D.{-1,0,1,2,3}
2.C [解析]∵B={x|(x+1)(x-2)<
0,x∈Z}={x|-1<
2,x∈Z},∴B={0,1},∴A∪B={0,1,2,3}.
山东卷]设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<
0},则A∪B=( )
A.(-1,1)B.(0,1)
C.(-1,+∞)D.(0,+∞)
2.C [解析]∵A={y|y>
0},B={x|-1<
1},∴A∪B=(-1,+∞).
天津卷]已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=( )
A.{1}B.{4}
C.{1,3}D.{1,4}
1.D [解析]A={1,2,3,4},B={1,4,7,10},∴A∩B={1,4}.
浙江卷]已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)=( )
A.[2,3]B.(-2,3]
C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
1.B [解析]易知∁RQ={x|-2<
2},则P∪(∁RQ)={x|-2<
x≤3},故选B.
A2命题及其关系、充分条件、必要条件`
4.A2,F1[2016·
北京卷]设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.D [解析]若|a|=|b|成立,则以a,b为边组成的平行四边形为菱形,a+b,a-b表示的是该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立,从而不是充分条件;
反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为边组成的平行四边形为矩形,矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,从而不是必要条件.故选D.
7.A2,E5[2016·
四川卷]设p:
实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:
实数x,y满足则p是q的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
7.A [解析]如图,(x-1)2+(y-1)2≤2①表示圆心为(1,1),半径为的圆及其内部;
②表示△ABC及其内部.
实数x,y满足②,则必然满足①,反之不成立.
故p是q的必要不充分条件.
6.G3,A2[2016·
山东卷]已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
6.A [解析]当两个平面内的直线相交时,这两个平面有公共点,即两个平面相交;
但当两个平面相交时,两个平面内的直线不一定有交点.
5.D3、A2[2016·
天津卷]设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<
0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<
0”的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
5.C [解析]设数列的首项为a1,则a2n-1+a2n=a1q2n-2(1+q)<
0,即q<
-1,故选C.
15.A2[2016·
上海卷]设a∈R,则“a>
1”是“a2>
1”的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
D.既非充分也非必要条件
15.A [解析]由a>
1,得a2>
1;
由a2>
1,得a>
1或a<
-1.所以“a>
1”的充分非必要条件.
A3基本逻辑联结词及量词
4.A3[2016·
浙江卷]命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<
x2
B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<
C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<
D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<
4.D [解析]由全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题得,命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是“∃x∈R,∀n∈N*,使得n<
x2”.
A4单元综合
3.[2016·
衡阳一模]设集合A=,B=,若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是( )
A.a<
2B.a>
-2
C.a>
-1D.-1<
a≤2
3.C [解析]结合数轴可知,只要a>
-1,就可使A∩B≠∅.
10.[2016·
贵州普通高中模拟]已知双曲线-=1(a>
0)的离心率为e,则“e>
”是“0<
a<
10.B [解析]由e=>
,得0<
2,所以当0<
1时,一定有e>
,反之不成立.故“e>
1”的必要不充分条件.
8.[2016·
东莞模拟]设p,q是两个命题,若綈(p∨q)是真命题,则( )
A.p是真命题且q是假命题
B.p是真命题且q是真命题
C.p是假命题且q是真命题
D.p是假命题且q是假命题
8.D [解析]綈(p∨q)是真命题⇔p∨q是假命题⇔p,q均为假命题.
B单元函数与导数
B1 函数及其表示
5.B1[2016·
江苏卷]函数y=的定义域是________.
5.[-3,1] [解析]令3-2x-x2≥0可得x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1,故所求函数的定义域为[-3,1].
11.B1、B4[2016·
江苏卷]设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)=其中a∈R.若f(-)=f(),则f(5a)的值是________.
11.- [解析]因为f(x)的周期为2,所以f(-)=f(-)=-+a,f()=f()=,
即-+a=,
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