高三数学大一轮复习 44函数yAsinωx+φ的图象及应用教案 理 新人教A版Word格式.docx
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0)的图象是轴对称也是中心对称图形,具体如下:
(1)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=xk(其中ωxk+φ=kπ+,k∈Z)成轴对称图形.
(2)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形.
[难点正本 疑点清源]
1.作图时应注意的两点
(1)作函数的图象时,首先要确定函数的定义域.
(2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据周期性作出整个函数的图象.
2.图象变换的两种方法的区别
由y=sinx的图象,利用图象变换作函数y=Asin(ωx+φ)(A>
0)(x∈R)的图象,要特别注意:
当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象沿x轴的伸缩量的区别.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位,而先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是个单位.
1.已知简谐运动f(x)=2sin(|φ|<
)的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为__________.
答案 6,
解析 由题意知1=2sinφ,得sinφ=,又|φ|<
,
得φ=;
而此函数的最小正周期为T=2π÷
=6.
2.(xx·
浙江)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( )
答案 A
解析 y=cos2x+1
y=cosx+1
y=cos(x+1)+1y=cos(x+1).
结合选项可知应选A.
3.(xx·
大纲全国)设函数f(x)=cosωx(ω>
0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( )
A.B.3C.6D.9
答案 C
解析 由题意可知,nT=(n∈N*),
∴n·
=(n∈N*),
∴ω=6n(n∈N*),∴当n=1时,ω取得最小值6.
4.把函数y=sin的图象向右平移个单位,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的,所得的函数
解析式为( )
A.y=sinB.y=sin
C.y=sinD.y=sin
答案 D
解析 将原函数的图象向右平移个单位,得到函数y=sin=sin的图象;
再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的,得到函数y=sin的图象.
5.已知简谐运动f(x)=Asin(ωx+φ)(|φ|<
)的部分图象如图所示,则该简谐
运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A.T=6π,φ=B.T=6π,φ=
C.T=6,φ=D.T=6,φ=
解析 由图象易知A=2,T=6,∴ω=,
又图象过(1,2)点,∴sin=1,
∴φ+=2kπ+,k∈Z,又|φ|<
,∴φ=.
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
例1 已知函数y=2sin,
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;
(3)说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.
思维启迪:
(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决.
(2)五点法作图,关键是找出与x相对应的五个点.
(3)只要看清由谁变换得到谁即可.
解
(1)y=2sin的振幅A=2,周期T==π,
初相φ=.
(2)令X=2x+,则y=2sin=2sinX.
列表,并描点画出图象:
-
X
y=sinX
1
-1
y=2sin
2
-2
(3)方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位,得到y=sin的图象,再把y=sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象,最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图象.
方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到y=sin2x的图象;
再将y=sin2x的图象向左平移个单位,得到y=sin2=sin的图象;
再将y=sin的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的2倍,得到y=2sin的图象.
探究提高
(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法,此法注意在作出一个周期上的简图后,应向两端伸展一下,以示整个定义域上的图象;
(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用ωx+φ=ω来确定平移单位.
已知函数f(x)=3sin,x∈R.
(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图;
(2)将函数y=sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象?
解
(1)列表取值:
x-
f(x)
3
-3
描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图.
(2)先把y=sinx的图象向右平移个单位,然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍,再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍,得到f(x)的图象.
题型二 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
例2
(1)(xx·
江苏)已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>
0)的部分图象如图所示,则f(0)的值是______.
(2)(xx·
辽宁)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>
0,|φ|<
),y=f(x)的部分图象如图所示,则f()等于( )
A.2+B.
C.D.2-
(1)由平衡点和相邻最低点间的相对位置确定周期;
根据待定系数法求φ.
(2)将“ωx+φ”看作一个整体放在一个单调区间内求解.
答案
(1)
(2)B
解析
(1)由题图知A=,=-=,
∴T=π,ω==2.
∴2×
+φ=2kπ+π,k∈Z,∴φ=2kπ+(k∈Z).
令k=0,得φ=.
∴函数解析式为f(x)=sin,
∴f(0)=sin=.
(2)由图形知,T==2(π-)=,∴ω=2.
由2×
π+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-π,k∈Z.
又∵|φ|<,∴φ=.由Atan(2×
0+)=1,
知A=1,∴f(x)=tan(2x+),
∴f()=tan(2×
+)=tan=.
探究提高 根据y=Asin(ωx+φ)+k的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑:
①A的确定:
根据图象的最高点和最低点,即A=;
②k的确定:
根据图象的最高点和最低点,即k=;
③ω的确定:
结合图象,先求出周期T,然后由T=(ω>
0)来确定ω;
④φ的确定:
由函数y=Asin(ωx+φ)+k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为-(即令ωx+φ=0,x=-)确定φ.
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>
,ω>
0)的图象
的一部分如图所示,则该函数的解析式为____________.
答案 f(x)=2sin
解析 观察图象可知:
A=2且点(0,1)在图象上,
∴1=2sin(ω·
0+φ),即sinφ=.∵|φ|<
,∴φ=.又∵π是函数的一个零点,且是图象递增穿过x轴形成的零点,∴ω+=2π,∴ω=2.∴f(x)=2sin.
题型三 三角函数模型的应用
例3 如图为一个缆车示意图,该缆车半径为4.8米,圆上最低点与地
面的距离为0.8米,且每60秒转动一圈,图中OA与地面垂直,以
OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面间的距离为h.
(1)求h与θ间的函数关系式;
(2)设从OA开始转动,经过t秒到达OB,求h与t之间的函数关系式,并求该缆车首次到达最高点时所用的时间.
解
(1)过点O作地面的平行线ON,过点B作ON的垂线BM交ON于
点M(如图),
当θ>
时,∠BOM=θ-,
h=OA+BM+0.8
=5.6+4.8sin.
当0≤θ≤时,上式也成立.
∴h与θ间的函数关系式为h=5.6+4.8sin.
(2)点A在圆上转动的角速度是弧度/秒,
∴t秒转过的弧度数为t,
∴h=5.6+4.8sin,t∈[0,+∞).
首次到达最高点时,h=10.4米,
即sin=1,t-=,
即t=30秒时,该缆车首次到达最高点.
探究提高 本题属三角函数模型的应用,通常的解决方法:
转化为y=sinx,y=cosx等函数解决图象、最值、单调性等问题,体现了化归的思想方法;
用三角函数模型解决实际问题主要有两种:
一种是用已知的模型去分析解决实际问题,另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题,尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题,充分体现了新课标中“数学建模”的本质.
如图所示,某地夏天从8~14时用电量变化曲线近
似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b,φ∈(0,π).
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
解
(1)最大用电量为50万度,最小用电量为30万度.
(2)观察图象,可知从8~14时的图象是y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象.
∴A=×
(50-30)=10,b=×
(50+30)=40.
∴=14-8=·
,∴ω=,
∴y=10sin+40.
将x=8,y=30代入上式,解得φ=,
∴所求解析式为y=10sin+40,x∈[8,14].
利用三角函数的性质求解析式
典例:
(12分)如图为y=Asin(ωx+φ)的图象的一段.
(1)求其解析式;
(2)若将y=Asin(ωx+φ)的图象向左平移个单位长度后得y=f(x),求f(x)的对称轴方程.
审题视角
(1)图象是y=Asin(ωx+φ)的图象.
(2)根据“五点法”作图的原则,M可以看作第一个零点;
可以看作第二个零点.
规范解答
解
(1)由图象知A=,
以M为第一个零点,N为第二个零点.[2分]
列方程组 解之得[4分]
∴所求解析式为y=sin.[6分]
(2)f(x)=sin
=sin,[8分]
令2x-=+kπ(k∈Z),则x=π+(k∈Z),[10分]
∴f(x)的对称轴方程为x=π+(k∈Z).[12分]
答题模板
第一步:
根据图象确定第一个平衡点、第二个平衡点或最高点、最低点.
第二步:
将“ωx+φ
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