专题19 二次函数的应用二抛物线与几何图形问题讲备战中考数学二轮复习讲练测原卷版Word文件下载.docx
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直角三角形、相似三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、圆.
性质与判定.
3、数学思想:
方程思想、分类讨论思想、数形结合思想.
4、把复杂图形简单化,能在以二次函数为背景的几何题中寻找基本图形.
二讲题型——题型解析
(一)对抛物线与基本图形的考查.
例1、(2015内蒙古巴彦淖尔)如图所示,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(﹣2,0)、B(4,0),其顶点为D,连接BD,点P是线段BD上的一个动点(不与B、D重合),过点P作y轴的垂线,垂足为E,连接BE.
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)设P点的坐标为(x,y),△PBE的面积为S,求S与x之间的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值;
(3)在
(2)的条件下,当S取值最大值时,过点P作x轴的垂线,垂足为F,连接EF,△PEF沿直线EF折叠,点P的对应点为点P′,请直接写出P′点的坐标,并判断点P′是否在该抛物线上.
例2.(2015广西桂林)如图,已知抛物线与坐标轴分别交于点A(0,8)、B(8,0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动,动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停止运动.
(1)直接写出抛物线的解析式:
;
(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;
当t为何值时,△CED的面积最大?
最大面积是多少?
(3)当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积?
若存在,求出P点的坐标;
若不存在,请说明理由.
(二)对抛物线与图形面积问题的考查.
例3、(2015江苏徐州)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆,B为半圆上一点,连接AB并延长至C,使BC=AB,过C作CD⊥x轴于点D,交线段OB于点E,已知CD=8,抛物线经过O、E、A三点.
(1)∠OBA=°
;
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点,以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S,则S取何值时,相应的点P有且只有3个?
(三)对抛物线与图形变换问题的考查
例4、(2015浙江湖州)如图,已知抛物线C1:
y=a1x2+b1x+c1和C2:
y=a2x2+b2x+c2都经过原点,顶点分别为A,B,与x轴的另一个交点分别为M、N,如果点A与点B,点M与点N都关于原点O成中心对称,则抛物线C1和C2为姐妹抛物线,请你写出一对姐妹抛物线C1和C2,使四边形ANBM恰好是矩形,你所写的一对抛物线解析式是_______________________和_________________________
例5、(2015浙江金华)如图,抛物线()与y轴交于点A,与x轴交于B,C两点(点C在x轴正半轴上),△ABC为等腰直角三角形,且面积为4,现将抛物线沿BA方向平移,平移后的抛物线过点C时,与x轴的另一点为E,其顶点为F,对称轴与x轴的交点为H.
(1)求a、c的值.
(2)连接OF,试判断△OEF是否为等腰三角形,并说明理由.
(3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上,一直角边始终过点E,另一直角边与y轴相交于点P,是否存在这样的点Q,使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等?
若存在,求出点Q的坐标;
(四)对几何图形中动点产生的二次函数关系的考查
例6、(2015辽宁本溪)如图,在△ABC中,∠C=90°
,点P是斜边AB的中点,点M从点C向点A匀速运动,点N从点B向点C匀速运动,已知两点同时出发,同时到达终点,连接PM、PN、MN,在整个运动过程中,△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是()
例7、(2015甘肃天水)在平面直角坐标系中,已知y=﹣x2+bx+c(b、c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,﹣1),点C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限.
(1)如图,若抛物线经过A、B两点,求抛物线的解析式.
(2)平移
(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时,试证明:
平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点.
(3)在
(2)的情况下,若沿AC方向任意滑动时,设抛物线与直线AC的另一交点为Q,取BC的中点N,试探究NP+BQ是否存在最小值?
若存在,求出该最小值;
(五)对几何图形中动线产生的二次函数关系的考查
例8、(2015内蒙古包头、乌兰察布)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°
,AD=1厘米,AB=3厘米,BC=5厘米,动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动,动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动,P,Q两点同时出发,当点Q到达点D时停止运动,点P也随之停止,设运动时间为t秒(t>0).
(1)求线段CD的长;
(2)t为何值时,线段PQ将四边形ABCD的面积分为1:
2两部分?
(3)伴随P,Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线为l.
①t为何值时,l经过点C?
②求当l经过点D时t的值,并求出此时刻线段PQ的长.
(6)对几何图形中动面产生的二次函数关系的考查
例9、(2015吉林)两个三角板ABC,DEF,按如图所示的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点,线都在同一平面内).其中,∠C=∠DEF=90°
,∠ABC=∠F=30°
,AC=DE=6cm.现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动.设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2).
(1)当点C落在边EF上时,x=cm;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N.直接写出在三角板平移过程中,点M与点N之间距离的最小值.
三讲方法——方法点睛
(一)注意弄清题目中所涉及的概念,熟悉与之相关的定理、公式、技巧和方法;
注意剖析综合问题的结构,弄清知识点之间的联系,善于把一个综合题分成若干个基本题,各个知识点之间的结合部,往往是由一个基本问题转化到另一个基本问题的关键;
注意从不同的角度来探索解题的途径,注意运用“从已知看可知”,“从结论看需知”等综合法与分析法来沟通已知条件与结论。
(二)综合使用分析法和综合法,运用方程的思想,,使用分类讨论的思想,运用数形结合的思想,运用转化的思想。
四练实题——随堂小练
1.如图,正方形ABCD的边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为s,AE为x,则s关于x的函数图象大致是()
2.如图,已知矩形ABCD的长AB为5,宽BC为4,E是BC边上的一个动点,AE⊥EF,EF交CD于点F.设BE=x,FC=y,则点E从点B运动到点C时,能表示y关于x的函数关系的大致图象是()
A.B.C.D.
3.如图,将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合.正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动,当点A和点E重合时正方形停止运动.设正方形的运动时间为t秒,正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s,则s关于t的函数图象为()
4.抛物线y=-2x2+4x+1在轴上截得的线段长度是.
5.已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P,与x轴交于点A,B,且△ABP是正三角形,则k的值是 .
6.如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线y=x2-1上运动,当⊙P与x轴相切时,圆心P的坐标为_________.
五练原创——预测提升
1.如图,点C是以点O为圆心,AB为直径的半圆上的动点(点C不与点A,B重合),AB=4.设弦AC的长为x,△ABC的面积为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是()
A.B.C.D.
2.如图,正方形ABCD中,AB=8cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发,以1cm/s的速度沿BC,CD运动,到点C,D时停止运动,设运动时间为t(s),△OEF的面积为S(cm2),则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为()
3.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数()的图象过正方形ABOC的三顶点A、B、C,则的值是.
4.如图所示,在抛物线y=-x2上有A,B两点,其横坐标分别为1,2;
在y轴上有一动点C,则AC+BC最短距离为()
A.5B.C.D.
5.已知抛物线y=-x2+1的顶点为P,点A是第一象限内该二次函数图像上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连结PA、PD,PD交AB于点E,△PAD与△PEA相似吗?
()
A.始终不相似B.始终相似
C.只有AB=AD时相似D.无法确定
6.如图,在平面直角坐标系中,点A是抛物线与y轴的交点,点B是这条抛物线上另一点.且AB//x轴,则以AB为边的等边三角形ABC的周长为.
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