高中物理必修2同步学案第6章 万有引力与航天 第23节 Word版含答案Word文件下载.docx
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2.简化模型:
把行星轨道按照圆处理.
3.推导思路:
向心力是由太阳对行星的引力提供.设行星的质量为m,速度为v.行星到太阳的距离为r,如图6-(2、3)-2所示:
图6-(2、3)-2
则F=mv2/r①
观测到行星公转的周期T
又v=②
由①②式得F=③
由开普勒第三定律=k可知T2=④
由③④式,消T得F=4π2k·
即F∝⑤
根据牛顿第三定律得:
行星对太阳的引力F′与F是相同性质的力,也应具有相类似的表达式,也应与太阳的质量M成正比,与行星到太阳的距离的二次方成反比,即F′∝⑥
由⑤式和⑥式得F∝
写成等式为F=G⑦
式中G为比例系数,与太阳、行星都没有关系.
结论:
太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比,与两者距离的二次方成反比,太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线.
经过类似的分析过程,即可得出公式F=G同样适用于行星与卫星间的引力.
要点二关于万有引力定律的理解
1.公式的成立条件
(1)万有引力公式适用于质点间引力大小的计算.
(2)对于可视为质点的物体间的引力求解,也可以利用万有引力公式,如两物体间距离远大于物体本身大小时,物体可看成质点;
均匀球体可视为质量集中于球心的质点,r为球心间的距离.
(3)当物体不能看成质点时,可以假想把物体分割成无数个质点,求出两个物体上每个质点与另一个物体上所有质点的万有引力,然后求合力.
2.万有引力定律具有以下四个特性
四性
内容
普遍性
万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间,宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力,符合牛顿第三定律
宏观性
在地面上的一般物体之间,由于质量比较小,物体间的万有引力比较小,与其他力比较可忽略不计,但在质量巨大的天体之间,或天体与其附近的物体之间,万有引力起着决定性作用
特殊性
两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关,而与所在空间的性质无关,也与周围是否存在其他物体无关
要点三万有引力与重力的关系
图6-(2、3)-3
1.在地球表面上的物体所受的万有引力F可以分解成物体所受到的重力G和随地球自转而做圆周运动的向心力F′,如图6-(2、3)-3所示.其中F=G.而F′=mrω2.从图中可以看出:
当物体在赤道上时,F、G、F′三力同向,且r=R,此时F′达到最大值Fmax′=mRω2,重力达到最小值Gmin=F-F′=G-mRω2.当物体由赤道向两极移动时,向心力减小,重力增大,只有物体在两极时物体所受的万有引力才等于重力,且达到最大值,此最大值为Gmax=G.总之不能说重力就是地球对物体的万有引力.当然,如果忽略地球的自转,则万有引力和重力的关系为mg=,g为地球表面的重力加速度.
2.在高空中的物体所受到的万有引力等于它在高空中的重力,也等于提供物体绕地球做匀速圆周运动的向心力.由于高度h的变化,重力mg=G也将变化.
3.在天体问题的处理过程中,经常利用地面处的重力数值确定其他位置或其他天体的有关物理量,因此,关系式mg=尤为重要,由此可确定地球的其他位置或其他天体上物体的重力或重力加速度与地面上的关系.该关系式称为“黄金代换”.
要点四万有引力定律与天体的运动
天体的运动一般看作匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供.即F引=≈mg=ma向,而a向==ω2r=ωv=r=4π2f2r,因此应用万有引力定律解决天体的有关问题,主要有以下几个度量关系:
F引==mg=ma向=m=mω2r=mωv=m·
r=m·
4π2f2r.
【答疑解惑】:
1.如何验证太阳与行星之间引力的规律是否适用于行星与它的卫星?
要验证太阳与行星之间引力的规律是否适用于行星与它的卫星,就必须首先观测证明卫星围绕行星运转是否遵循=k.要学会逆向思维寻找思路,类比推理获取结果.我们知道,在推测和分析太阳与行星之间引力规律的过程中,应用了开普勒行星运动定律和牛顿运动定律,而开普勒行星运动定律是开普勒根据研究天文学家第谷的行星观测记录发现的.因此,要验证太阳与行星之间引力的规律是否适用于行星与它的卫星,必须验证开普勒行星运动定律是否适用于围绕行星运转的卫星.这就需要观测卫星的运动,测出这些卫星围绕行星运转的轨道半径r和公转周期T,看看是否符合=k,并假设卫星围绕行星的运动是匀速圆周运动(限于我们目前的数学基础,作这样的简化假设是必要的).经过类似的分析过程,即可得出公式F=G同样适用于行星与卫星间的引力.
2.不同星球表面的重力加速度大小一样吗?
在同一星球重力加速度随高度如何变化?
不一样.在某星球表面,由G=mg,得星球表面的重力加速度g=,由此知g取决于该星球的质量M和半径R.
在同一星球G=mg,得g=.
由此知随着高度h的增大,g减小.
【典例剖析】:
一、万有引力定律的理解
例1对于万有引力的表达式F=G,下列说法正确的是( )
A.公式中的G为万有引力常量,它是由实验得出的,而不是人为规定的
B.当r趋近于零时,万有引力趋近于无穷大
C.m1和m2受到的引力总是大小相等,而与m1、m2是否相等无关
D.m1与m2受到的引力总是大小相等、方向相反,是一对平衡力
解析万有引力常量G是卡文迪许通过实验得出的,故A项正确.公式成立条件是质点间的相互作用,当r→0时,条件不成立,故B错误.m1、m2间的万有引力符合牛顿第三定律,是同种性质的力,故C项正确,D项错误.
答案 AC
方法总结
万有引力定律适用范围是质点间的相互作用,r是质点间的距离,遵从牛顿第三定律.
二、重力加速度问题
例2设地球表面重力加速度为g0,物体在距离地心4R(R是地球的半径)处,由于地球的作用而产生的加速度为g,则g/g0为( )
A.1 B.1/9 C.1/4 D.1/16
解析 本题考查万有引力定律的简单应用,地球表面处的重力加速度和在离地心高4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生,所以有
地面上G=mg0①
离地心4R处G=mg②
由①②两式得=2=
答案 D
通常情况下,我们所研究的物体都在地面上或离地面的高度远小于地球的半径,不管这些物体是处于何种运动状态,我们都可以认为万有引力与重力相等.但有两种情况必须加以区别:
一是从细微之处分析重力与万有引力大小的关系,二是物体离地面高度与地球半径相比不能忽略的情况.
三、万有引力定律的综合应用
例3一物体在地球表面重16N,它在以5m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9N,则此火箭离地球表面的距离为地球半径的( )
A.2倍B.3倍C.4倍D.一半
解析 设此时火箭离地球表面高度为h
由牛顿第二定律得FN-mg′=ma①
在地球表面mg=G=16②
由此得m=1.6kg,代入①
得g′=③
又因h处mg′=G④
由②④,得=
代入数据,得h=3R.故选B.
答案 B
应用万有引力定律与其他知识相联系的综合问题,要明确运动过程,选择相应的规律,
确定各量间的关系.
【课堂练习】:
1.太阳对行星的引力提供了行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力,这个向心力大小( )
A.与行星距太阳的距离成正比
B.与行星距太阳的距离成反比
C.与行星运动的速率的平方成正比
D.与行星距太阳的距离的平方成反比
解析 由引力公式F=G知A、B、C错误,D正确.
2.要使两物体间的引力减小到原来的,下列方法可行的是( )
A.两物体的距离不变,质量各减小为原来的一半
B.两物体的距离变为原来的2倍,质量各减为原来的一半
C.两物体的质量变为原来的一半,距离也减为原来的一半
D.两物体的质量都变为原来的2倍,距离不变
答案 A
解析 由万有引力公式F=G可得r不变,M、m各减小一半后,其引力F变为原来的,A项正确;
r变为原来的2倍,M、m减为原来的一半,其引力将变为原来的;
M、m、r都变为原来的一半,F将不变;
r不变,M、m变为原来的2倍,则引力变为原来的4倍.本题考查到对万有引力公式的理解,是与两物体质量的“乘积”成正比,与两物体距离的“二次方”成反比.
3.如图6-(2、3)-4所示,
图6-(2、3)-4
M、N为两个完全相同的质量分布均匀的小球,AB为MN连线的中垂线,有一质量为m的小球从MN连线的中点O沿OA方向运动,则它受到的万有引力大小变化情况是( )
A.一直增大B.一直减小
C.先减小、后增大D.先增大、后减小
解析 质量为m的物体在O点时,受到的万有引力为零,沿OA方向到无穷远处也为零,但其间不为零,因此,物体m受到的万有引力变化情况是先增大后减小,故D正确.
4.地球对月球具有相当大的万有引力,可它们没有靠在一起,这是因为( )
A.不仅地球对月球有万有引力,而且月球对地球也有万有引力,这两个力大小相等,方向相反,互相抵消了
B.不仅地球对月球有万有引力,而且太阳系中的其他星球对月球也有万有引力,这些力的合力为零
C.地球对月球的引力还不算大
D.地球对月球的万有引力不断改变月球的运动方向,使得月球围绕地球运动
5.一名宇航员来到一个星球上,如果该星球的质量是地球质量的一半,它的直径也是地球直径的一半,那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的( )
A.0.25倍B.0.5倍C.2.0倍D.4.0倍
答案 C
解析 F引′===2=2F引.
6.已知地球的质量为6.0×
1024kg,太阳的质量为2.0×
1030kg,地球绕太阳公转的轨道半径为1.5×
1011m(取G=6.67×
10-11N·
m2/kg2).求:
(1)太阳对地球的引力大小.
(2)地球绕太阳运转的向心加速度.
答案
(1)3.6×
1022N
(2)6×
10-3m/s2
7.某人造地球卫星质量为m,绕地球运动的轨迹为椭圆.已知它在近地点距地面高度为h1,速度为v1,加速度为a1;
在远地点距地面高度为h2,速度为v2.已知地球半径为R,求该卫星在远地点的加速度a2.
答案 a1
解析 设地球的质量为M,则由牛顿第二定律得
近地点=ma1
远地点=ma2
解得a2=
【课内探究】:
题型①万有引力定律公式的计算
有一质量为M、
图1
半径为R、密度均匀的球体,在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点,现在从M中挖去一半径为的球体,如图1所示,求剩下部分对m的万有引力F为多大?
答案
解析 仔细观察球体挖去部分及完整球体的形状特点,可知,完整部分与质点m以及挖去部分与质点m间万有引力均可用公式计算,由此联想到利用等割补的方式先将剩余部分还原为完整体,计算出万有引力,然后计算出割去部分与质点m间的万有引力,两者之差即为所求.
设想将被挖部分重新补回,则完整球体对质点m的引力为F1,可以看作是剩余部分对质点的引力F与被挖小球对质点的引力F2的合力,即F1=F+F2.
设被挖小球的质量为M′,其球心到质点间的距离为r′.
由题意,知M′=,r
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