在实际应用中柯西积分公式的用途正文Word文件下载.docx
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上连续,则
2.4柯西积分公式
设区域
的边界是周线(或复周线)
,函数
上连续,则有
(
).
3柯西积分公式的推论
3.1解析函数平均值定理
如果函数
内解析,在闭圆
,
即
在圆心
的值等于它在圆周上的值的算术平均数.
证:
设
表示圆周
,则
即
由此
根据柯西积分公式
3.2高阶导数公式
上连续,则函数
在区域
内有各阶导数,并且有
这是一个用解析函数
的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式.
现行教材中,仅应用数学归纳法证明了它的特殊形式——高阶导数公式,而数学归纳法比较繁琐.下面首先给出引理,然后利用该结论导出高阶导数公式一种简单的证明.
引理设
是一条可求长的曲线,
是
上的连续函数,对于每个自然数
及复平面
上的每个点
,定义函数
那么每个
上解析,且
证明:
首先证明
是区域
上的连续函数,即要证明,对于
内的任意点
,不论
多么小,总存在
,只要
(
内的点),就有
因为
(1)
所以
(2)
上连续,所以存在某个常数
,使得对于
上一切点
.设
与
的距离为
.那么对于任意
及
,有
.于是有
(2)得
其中
为曲线
的长.
令
取
那么,当
,就有
其次证明
上解析,且满足
,在
内任取一点
,设
,由
(1)得
,所以对于满足不等式
的每个
上连续.根据前一部分的证明,上式右边的每个积分都在
上定义了一个变量
的连续函数,因此,当
时的极限存在,即
对于
内的一切
均成立.
下面使用这个引理证明高阶导数公式:
由柯西积分公式,对于
记
根据引理,
即
.
3.3柯西不等式
设函数
内一点,以
为心作圆周
及其内部
均含于
,则有
证:
由上面的推导可由柯西积分公式得到高阶导数公式,下面再有高阶导数公式证明柯西不等式.应用上面得到的定理,则有
注:
柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式,说明解析函数在解析点
的各阶导数的估计与它的解析区域的大小密切相关.
3.4刘维尔定理
有界整函数
必为常数
的上界为
,则在柯西不等式中,对无论什么样的
,均有
.于是命
时有
上式对一切
均成立,让
,即知
,而
平面上任一点,故
平面上的导数为零,所以,
3.5摩勒拉定理
若函数
在单连通区域
内连续,且对
内任一周线
则
内解析.
在假设条件下,即知
内解析,且
.但解析函数
的导函数
还是解析的.即是说
4奇点在积分路径
上的柯西积分公式
我们一般讨论的复积分,要就被积函数在积分路径上有界,并且奇点不在积分路径上,这类积分可以直接套用柯西积分公式可求,如果积分路径上存在奇点,就不满足条件了,就不能直接用柯西积分公式了,此时一般用复积分概念,利用极限来求解,但比较复杂,甚至求不出结果.下面结合Holder条件和奇异积分相关知识,对被积函数分析变形,针对奇点在积分路径上的复积分得出一种新的求解公式.
定义1设
是复平面内的简单逐段光滑曲线,
上连续,在
附近无界,在
上
的两边各取一点
,若
存在,则称此极限值是
沿
的奇异积分,记为
定义2设
附近无界,以
为心、充分小的正数
为半径做圆周,使它与
的交点恰为
,若极限
的柯西主值积分,记为
定理1设
施光滑曲线,取正向,若
满足Holder条件,即
(其中
都是实常数,
上任意两点)则称柯西主值积分存在,且有
又
(其中
上任意连续分支,
),
为当
从
变动到
时
的幅角改变量,当
即
时,它的极限值为
又因为
而
,则积分
存在.
于是,得
定理2若
是简单逐段光滑曲线,
是以
为边界的有界单连通区域,
上连续
的邻域有
为常数
以
为心,充分小的
为半径作圆,在
上取下一小段弧
内得到圆弧
,取正向,有柯西积分定理
的参数方程为
故
定理3设区域
上连续,且在
满足Holder条件,则有
此式称为
在边界
上的柯西积分公式.
那么由定理1知:
于是由定理3得
故有
另外,当
不一定存在.因此,此时的柯西积分主值不能确定,故此时
上的柯西积分公式也不能确定.
5.3柯西积分公式的方法与技巧
柯西积分公式是复积分基本公式,是解析函数的一种积分表达式,它深刻地反映了解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系.解析函数的高阶导数给我们一个利用导数来求积分的公式,是求沿闭曲线的积分更加简洁.而尤其重要的是,高阶导数公式告诉我们:
只要函数
内处处可导(解析),则它的各阶导数在区域
内存在.
到此为止,我们已经掌握了关于复积分计算的基本定理和公式.因此,计算复积分不再是应用某一定理或某一公式,而往往是同时应用几个定理或几个公式,这就要求我们加强对综合问题的分析、研究和求解能力的培养.
当被积函数为有理函数或被积函数可化为分母为多项式的函数式,如果在封闭曲线
内含有分母的一个零点而分子在
内处处解析(即对
或
内,而
内处处解析),则可直接应用柯西积分公式或高阶导数公式来计算积分.而在有理函数情形,若
内含有分母一个以上零点而分子解析,则要先将被积函数化为部分分式,然后依据具体问题是用恰当的方法去求积.
6举例应用
例1计算积分
解:
化
,即
内有奇点
,作以
和
为心的位于
内的互不相交且互不包含的小圆周
,依复闭合定理与柯西积分公式,有
例2计算积分
(1)
,
(2)
分析:
(1)和
(2)的主要区别在于积分路径上是否存在奇点,
(1)的结果很好求,符合积分定理的条件,可直接使用柯西积分定理.
(2)应为奇点
在积分路径上,所以就不能直接用柯西积分定理来求,但满足定理3条件,可利用定理3求值.
解
(1)直接用柯西积分定理得
(2)因为
又有柯西积分公式有
由定理3有
所以
例3计算积分
此题如果用广义积分来求解,计算繁冗,有一定难度,但通过变形,转化为复数,利用定理3求解就简单多了.
(其中经过定积分的计算可以得到积分
)
满足Holder条件,且
的奇点
在积分路径上,由定理3得
是连接
的一段弧,则
是闭曲线)
由约当引理知
所以
例4求积分
(1)
(2)
(3)
由于
选取
上连续,故由柯西积分公式有:
,可见
因此将被积函数做如下变形:
(3)
这样
内有两个点.依柯西积分公式将积分化成两个复积分求之,有:
例5计算积分
解:
有高阶导数公式可得:
例6计算积分
被积函数
内有
两个奇点,运用挖奇点法,分别以
为圆心作互不相交的小圆
且
包含在
内.由柯西积分公式和高阶导数公式有
例7求积分
,其中
为整数.
当
时,
上及其内部解析,由柯西积分定理得
当
时,由柯西积分公式得
时,由高阶导数公式知:
参考文献
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[9]张庆.Cauchy积分公式及其应用[J]
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