信息安全数学基础习题集一Word格式文档下载.docx
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、判断题(在题目后面的括号中,对的画“"
”,错的画“乂”)
1、若是任意正整数,则讥KJ—;
心.()
2、设叫山2叫是"
个不全为零的整数,则切—叫与引,|°
引,|勺|,
||的公因数相同
3、设'
"
是正整数,若也丨必,则mIQ或"
Ib
4、设皿为正整数,讪为整数,□三bOKlm)|,4"
且°
则
5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系.()
6设「是素数,模,的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素
个数相等•()
7、设•为奇素数,模的平方剩余和平方非剩余的数量各为8.()
8、一次同余方程有解.()
9、设.是素数,是模的原根,若'
三,贝U是I的整数倍.
()
02
10、设;
|Qh(缶时=1,贝卩二口,£
S
ordn](«
)-】
…d
JJ
构成模*的简化
剩余系.
11.b=0,贝贝(0/)=网.
()
12.设厲“是两个互素正整数,那么
|m,则ab\in.
13.设m是一个正整数,a,b,d都不为0,若ad=bd(modm。
则a=b(modm)。
14.设讥为正整数,a是满足(心町=1的整数,b为整数.若5厂孑"
厂皿町
为模罔的一个简化剩余系,贝「11也为模的一个简化
剩余系.(
15.p为素数,n为整数且与p互素,则n2为模p的平方剩余.(
16.
16.设卩为正整数,设乙=1|,贝怦是模P的平方剩余的充要条
19.整数集关于整数的乘法构成群。
()
20.适当定义加法和乘法,集合{0,1}可以构成一个有限域。
1.设“与b是两个整数,则存在整数辑上,使得(隔巾)=皿+"
下面关于汀
与线性组合描述错误的是:
A.整数■的取值仅有一组唯一的值;
B.整数•’的线性和所能表示的最小的正整数是••最大公因数,即
C.|的倍数也可以用必的线性和表示;
D.整数「可以使用辗转相除法(欧几里得算法)反推得到。
2、下面关于整除的描述错误的是:
A.±
1是任何整数的因子;
B.设讥E2(整数集合),"
0c\b,c\a,贝庐也土b;
C.0是任何整数的倍数;
D.设讥€2,若灿a|,b芒0,则①|-灿-山
3、下面的说法正确的是:
A.给定一个正整数,和两个整数忖可,若总三扛:
匸泣汛:
,则:
'
B.设屛为整数,若"
三力(咖5)(21,2…町|,则
a三dfmod卜几忖円》…・小1订)
C.设師耳是两个正整数,若'
分别遍历’'
的完全剩余系,则
叫j叫^遍历模"
V”』的完全剩余系;
D.设“为素数,口为任意正整数,贝仏円“三Igixl心
4.下面哪个集合是模12的简化剩余系?
()。
A.1,3,5,7B.1,5,7,9,
C.1,5,7,11D.3,5,7,11。
5.一次同余方程’的解数是()
A.3B.2C.1D.0
6下面的说法正确的是:
()
A.•次同金力榔2lx三SSfrnotl77)有解;
B、一次同余方程x=6Onod15),等价于求解一次同余方程组
rjc=5(mod13)
C、一次同余方程组&
三2°
(med23)有且仅有唯一的解;
D.设」是正整数,对于一次同余方程组’'
•,若
(如叫)二1,则同余方程组一定有解。
7、设「是奇素数,血山)二1,(仏卩)'
则下列说法错误的是:
A.如果弘是模P的平方剩余,巳是模1」的平方非剩余,贝沪冋是模「的平方剩余.
B.如果丄是模卩的平方剩余,也是模P的平方非剩余,贝沪弹2是模卩的平方非剩余.
C.如果%也都是模P的平方剩余,贝鬥幻是模卩的平方剩余.
D.如果匕都是模P的平方非剩余,贝旷】吧是模p的平方剩余.
8、下面说法,错误的是()
A、设p为奇素数,设応2g)=1,若ci2=-Kmodp),方程*三方程肯定无解;
B、设是奇素数,整数i.'
.'
、:
两两互素.若m既是模的平方剩余也是模的平方剩余,则不是模的平方剩余;
C、设是奇素数,整数-两两互素.若既是模的平方剩余也是模的平方剩余,忖既不是模的平方剩余也不是模的平方剩余,则卜:
■不是模.的平方剩余;
D、设口□是奇素数,丨3b,的)1,只有/三曲(mudp))和x2=ab(modq)同时有解,对于二次方程[^2=ab(mudpy)才有解。
9.已知5对模17的阶为16,5X5三8(mod17),求"
“订⑻的值是()
A2B、4C、6D、8
10.下面说法错误的是()
A、设是一个正合数,^'
'
则集合对于乘法:
b=axb(rnodn)
构成一个交换群;
B、设卜是一个正整数,令'
-1'
,即是所有整数
的集合.对于通常意义的加法(+),是一个交换群;
C、设戸是一个素数,Fp=Z/pZ={°
几23.计P-l^,F”=Fp\{OJ,fh是模"
的最小非负简化剩余系.则集合:
对于乘法:
a®
h=axb(modp)
D设•是一个奇素数,’'
b=axb(modri)构成一个有限域。
11.设a,b,c是三个整数,c工0且c|a,c|b,如果存在整数s,t,使得sa+tb=1,贝U()。
A.(a,b)=cB.c=1
C.c=sa+tbD.c=±
1
12.设a,b,c是三个不全为零的整数。
如果a=bq+c,其中q是整数,则有()。
A.(a,b)=(q,c)B.(a,b)=(b,c)
C.(a,b)=cD.(a,b)=(a,c)
13.下面哪个集合不是模5的一个完全剩余系?
()。
A.1,3,5,7,9B.2,4,6,8,10
C.0,1,2,11,13D.0,1,2,13,19
14.下面哪个集合是模18的简化剩余系?
A.-1,5,7,11,13,17
B.-1,5,9,11,13,15,17
C.-5,1,5,7,11,17
D.1,3,5,7,9.11,13,17。
15.满足56=18(modm)的正整数m(m>
2的个数是()。
A.1B.2
C.4D.5
16.30模23的逆元是()。
A.23B.19
C.10D.4
17.下列一次同余式无解的是()。
A.12x=3(mod16)
B.8x=9(mod19),
C.78x=30(mod98)
D.111x=6(mod51)。
18.下面哪个是模13的平方剩余?
()。
A.5B.10
C.11D.7
19.下面各组数中,均为模14的原根的是()。
A.2,3,4,5B.3,6,8,10
C.9,11,13D.3,5
20.定义运算|空|:
;
飞心二疔八X沉:
下面哪个集合构成一个群.()
A.{123,4}B.{1,3,5,7}
C.{1,,5,7,9}D.{1,5,7,11}
四、简答题
1.设汁15>
101,求整数k,l,使得刖rb(a,b}.(给出具体求
解过程)
2.设.IIi•II..为正整数,贝贋的充分
必要条件是.给出充分性的证明.
3.计算71005(mod15)。
(给出具体求解过程,提示:
可用欧拉定理或也可中
国剩余定理进行求解)
4.求7模26的阶ord26(7),并给出所有模26的阶为ord26(7)的整数g(1<
g<
26)。
(给出具体求解过程)
5.判断同余方程x2=3(mod11)的解的情况。
6.设兀是一个正合数,^={04>
2,3““"
I,令
‘s也即模的最小非负简化剩余系.贝煉合
a®
b=axbQnodn)
是否构成一个交换群?
(请给出详细求解判断过程)
7.a=42,b=164,求a和b的最大公因子(a,b)及整数x和y,使
(a,b)=ax+by.
8.证明:
设,'
为正整数,―为整数,E=若笑肘:
匚川,则
归三fjfmodm)
9.结合欧拉定理和模重复平方算法(或者平方乘算法)计算62025(mod41
10.写出模17的所有平方剩余。
11.计算5模19的指数ord19(5)。
12.设不可约多项式口幻二J+尤+i,集合g={J三i,丁三疋,三夏+1}.若定义乘法®
:
临"
心联阳呵(町),根据群的定义,判断{G,®
}
是否构成一个群
五、综合题(备注,每题必须给出具体求解过程)
1.解一次同余方程175x三41081x7(mod133).
434
2.由GF
(2)上的4次不可约多项式f(x)二忑+兀+1构成有限域GF
(2)
3.
中16个域元素,0除外,其余元素可用鋪勺幕次方来表示:
工三〔)X=X+A+1,工三()tX=X+x+l^
(1)完成上面的填空(4分)
‘.232>
4
(2)已知-1■1.<
-是—中的多项式并根据
上面的结果计算
(1)求吩)㊉g(X)
⑵求;
「*
(3)求忑'
1■:
(4)求|「
3、求解一次同余方程84x+1三64(mod371).
信息安全数学基础习题集一答案
第一题填空
1、1082、8003、{1,2,4,5,7,8}4、{1,3,4,5,9}5、4
6、川(m)©
(n)7、(a,m)|b8、(a,m)=19、有解10、阶
二、判断题
1—5:
xVxxV6-10:
xVxVx
11—15:
WxxV16-20:
xWxV
三、单项选择题
I-5:
ACBCD6-10:
CABDA
II-15:
DBCCB16-20CABDD
四、简答题
1、10仁15*6+1115=11+41仁4冥2+34=3%1+1
因此(a,b)=(101,15)=1
1=4-3=4-(11-42)=4-11=(15-11)口-1仁15
=15'
I'
"
因此s=27,t=-4
备注:
s=27t=-4不是唯一答案,只要满足滋弓经工
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