最新初中中考数学云南版第15讲等腰三角形精讲教学案文档格式.docx
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(3)判定:
①__三个角都相等的三角形是等边三角形__;
②__有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形__.
4.线段的垂直平分线
经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
__线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等__.
到一条线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
5.角平分线
(1)性质:
__角平分线上的点到角两边的距离相等__.
角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上.
,云南省近五年高频考点题型示例)
等腰三角形的性质
【例1】
(2013玉溪中考)若等腰三角形的两边长分别为4和8,则它的周长为( )
A.12B.16C.20D.16或20
【解析】等腰三角形的两边是4和8,没有告诉哪条边是腰,所以本题应从两方面思考:
情况一:
如果4是腰,8是底,那么三角形的三边分别是4,4,8.因为三角形三边关系是两边之和大于第三边,所以4,4,8不能组成三角形;
情况二:
如果8是腰,4是底,那么三角形的三边分别是8,8,4.符合组成三角形的标准,所以三角形的周长为:
8+8+4=20.
【答案】C
1.(2013昆明中考)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),在坐标轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有__8__个.
角平分线的性质
【例2】
(2014昆明中考)如图,在△ABC中,∠A=50°
,∠ABC=70°
,BD平分∠ABC,则∠BDC的度数是( )
A.85°
B.80°
C.75°
D.70°
【解析】首先由角平分线的性质求得∠ABD的度数,然后在△ABD中利用三角形外角性质求得∠BDC的度数即可.
【答案】A
等边三角形的性质
【例3】
(2015昆明中考)如图,△ABC是等边三角形,高AD,BE相交于点H,BC=4,在BE上截取BG=2,以GE为边作等边三角形GEF,则△ABH与△GEF重叠(阴影)部分的面积为________.
【解析】根据等边三角形的性质,可得AD的长,∠ABG=∠HBD=30°
.根据等边三角形的判定定理,可得△MEH的形状.根据直角三角形的判定方法,可得△FIN的形状,根据面积的和差关系,可得答案.
【答案】
2.(2015曲靖中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=30°
,以直角顶点A为圆心,AB长为半径画弧交BC于点D,
过D作DE⊥AC于点E.若DE=a,则△ABC的周长用含a的代数式表示为__(6+2)a__.
近五年遗漏考点及社会热点与创新题)
1.遗漏考点
线段的垂直平分线
【例1】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠CAB的平分线交BC于D,DE是AB的垂直平分线,垂足为E.若BC=3,则DE的长为( )
A.1B.2C.3D.4
【解析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°
,根据直角三角形的性质计算即可.
(2017荆州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°
,AB的垂直平分线交AC于点D,则∠CBD的度数为( )
A.30°
B.45°
C.50°
D.75°
【解析】根据三角形的内角和定理,求出∠ABC=∠ACB=75°
,再根据线段垂直平分线的性质,推出∠ABD=∠A=30°
,再由角的和差即可求出∠CBD的度数.
【答案】B
2.创新题
(2017台州中考)如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是( )
A.AE=ECB.AE=BE
C.∠EBC=∠BACD.∠EBC=∠ABE
【解析】根据AB=AC,BE=BC,可得出∠ABC=∠C,∠BEC=∠C,从而可以得出∠ABC=∠BEC,∠A=∠EBC,可得出正确答案.
【例4】如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AC于E,DF⊥AB于F,且FB=CE,则下列结论:
①DE=DF;
②AE=AF;
③BD=CD;
④AD⊥BC.其中正确的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解析】由AD是∠BAC的平分线,DE⊥AC于E,DF⊥AB于F,结合公共边AD,可证得△ADF≌△ADE,根据全等三角形的性质再结合FB=CE,依次分析各小题即可.
【答案】D
【例5】
(2017河池中考)已知等边△ABC的边长为12,D是AB上的动点,过D作DE⊥AC于点E,过E作EF⊥BC于点F,过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时,AD的长是( )
A.3B.4C.8D.9
【解析】设BD=x,根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°
,由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°
,解直角三角形即可得到结论.
【例6】
(2017海南中考)已知△ABC的三边长分别为4,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )
A.3条B.4条C.5条D.6条
【解析】根据等腰三角形的性质,利用4作为腰或底边得出符合题意的图形即可.
【例7】
(2017株洲中考)如图,若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB,则点P为△ABC的布洛卡点.三角形的布洛卡点(Brocardpoint)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle1780—1855)于1816年首次发现,但他的发现并未被当时的人们所注意,1875年,布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡
(Brocard1845—1922)重新发现,并用他的名字命名.问题:
已知在等腰直角三角形DEF中,∠EDF=90°
,若点Q为△DEF的布洛卡点,DQ=1,则EQ+FQ=( )
A.5B.4C.3+D.2+
【解析】如图,在等腰直角三角形△DEF中,∠EDF=90°
,DE=DF,∠1=∠2=∠3,
∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°
,∴∠QEF=∠DFQ.∵∠2=∠3,∴△DQF∽△FQE,∴===.∵DQ=1,∴FQ=,EQ=2,∴EQ+FQ=2+.
课内重难点真题精练及解题方法总结)
1.(辽宁丹东)如图,在▱ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC长为( B )
A.8B.10C.12D.14
2.已知等边三角形的边长为3,点P为等边三角形内任意一点,则点P到三边的距离之和为( C )
A.B.
C.D.不能确定
【方法总结】考查勾股定理,三角形面积公式,应用数学知识解决问题的能力.作出图形,根据三角形面积公式,利用等面积法即可找出点P到三边的距离之和与一边的高的关系;
然后根据等边三角形的性质求出高的长,问题即可得解.
3.(2017张家界中考)在等腰△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O分别与AB,AC相交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.
(1)求证:
DF是⊙O的切线;
(2)分别延长CB,FD,相交于点G,∠A=60°
,⊙O的半径为6,求阴影部分的面积.
解:
(1)连接OD.
∵AC=BC,OB=OD,
∴∠ABC=∠A,∠ABC=∠ODB,
∴∠A=∠ODB,
∴OD∥AC.
∵DF⊥AC,
∴DF⊥OD.
∵OD是⊙O的半径,
∴DF是⊙O的切线;
(2)∵AC=BC,∠A=60°
,
∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°
∵OD=OB,
∴△OBD是等边三角形,∴∠BOD=60°
∵DF⊥OD,∴∠ODG=90°
,∴∠G=30°
∴OG=2OD=2×
6=12,
∴DG=OD=6,
∴S阴影=S△ODG-S扇形OBD=×
6×
6-
=18-6π.
【方法总结】解该类题时,一般想办法把阴影部分转化到规则图形中,再利用面积的和差关系求得.
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