高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解Word格式.docx
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C.-2<
m<
4D.-4<
2
[解析] ∵x>
0,且+=1,
∴x+2y=(x+2y)(+)=4++≥4+2=8,当且仅当=,即x=2y时取等号,又+=1,∴x=4,y=2,∴(x+2y)min=8,要使x+2y>
m2+2m恒成立,只需(x+2y)min>
m2+2m,即8>
m2+2m,解得-4<
2.
(理)(2010·
东北师大附中)已知正项等比数列{an}满足:
a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得=4a1,则+的最小值为( )
A. B.
C. D.不存在
[答案] A
[解析] 由已知an>
0,a7=a6+2a5,设{an}的公比为q,则a6q=a6+,∴q2-q-2=0,∵q>
0,∴q=2,
∵=4a1,∴a12·
qm+n-2=16a12,∴m+n-2=4,
∴m+n=6,
∴+=(m+n)=≥=,等号在=,即n=2m=4时成立.
3.(2010·
茂名市模考)“a=”是“对任意的正数x,均有x+≥1”的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
[解析] ∵a=,x>
0时,x+≥2=1,等号在x=时成立,又a=4时,x+=x+
≥2=4也满足x+≥1,故选A.
4.(2010·
广西柳州市模考)设a,b∈R,则“a+b=1”是“4ab≤1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
[解析] a,b中有一个不是正数时,若a+b=1,显然有4ab≤1成立,a,b都是正数时,由1=a+b≥2得4ab≤1成立,故a+b=1⇒4ab≤1,但当4ab≤1成立时,未必有a+b=1,如a=-5,b=1满足4ab≤1,但-5+1≠1,故选A.
5.若a>
0,b>
0,a,b的等差中项是,且α=a+,β=b+,则α+β的最小值为( )
A.2B.3C.4D.5
[解析] ∵为a、b的等差中项,∴a+b=×
2=1.
a++b+⇒1++=1+=1+,
∵≤,∴ab≤=.∴原式≥1+4.
∴α+β的最小值为5.故选D.
6.(文)若直线2ax-by+2=0(a>
0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值是( )
A.1B.2
C.3D.4
[解析] 圆(x+1)2+(y-2)2=4,∵弦长为4,故为直径,即直线过圆心(-1,2),∴a+b=1.
∴+=(a+b)=2++≥4.
当且仅当a=b=时取等号.
(理)半径为4的球面上有A、B、C、D四点,AB,AC,AD两两互相垂直,则△ABC、△ACD、△ADB面积之和S△ABC+S△ACD+S△ADB的最大值为( )
A.8B.16C.32D.64
[答案] C
[解析] 根据题意可知,设AB=a,AC=b,AD=c,则可知AB,AC,AD为球的内接长方体的一个角.故a2+b2+c2=64,而S△ABC+S△ACD+S△ADB=(ab+ac+bc)≤==32.
等号在a=b=c=时成立.
7.(文)已知c是椭圆+=1(a>
b>
0)的半焦距,则的取值范围是( )
A.(1,+∞)B.(,+∞)
C.(1,)D.(1,]
[解析] 由题设条件知,a<
b+c,∴>
1,
∵a2=b2+c2,∴=≤=2,∴≤.故选D.
(理)已知F1、F2分别为双曲线-=1(a>
0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若的值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.(1,+∞)B.(1,2]
C.(1,]D.(1,3]
[解析] ==+|PF2|+4a≥4a+4a=8a,当且仅当=|PF2|,即|PF2|=2a时取等号.这时|PF1|=4a.由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|得6a≥2c,即e=≤3,∴e∈(1,3].
8.(2010·
南昌市模拟)已知a,b∈R+,a+b=1,M=2a+2b,则M的整数部分是( )
[答案] B
[解析] ∵a,b∈R+,a+b=1,∴0<
a<
1,设t=2a,则t∈(1,2),M=2a+2b=2a+21-a=t+≥2,等号在t=时成立,又t=1或2时,M=3,∴2≤M<
3,故选B.
9.(2010·
河南新乡调研)已知全集R,集合E={x|b<
},F={x|<
a},M={x|b<
x≤},若a>
0,则集合M等于( )
A.E∩FB.E∪F
C.E∩(∁RF)D.(∁RE)∩F
[解析] ∵a>
0,
∴a=>
>
=b,
如图可见集合M在E中,不在F中,故M=E∩∁RF.
10.(文)(2010·
衡水市模考)已知△ABC中,点D是BC的中点,过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点,若=λ(λ>
0),=μ(μ>
0),则+的最小值是( )
A.9B.
C.5D.
[解析] =-=(+)-
=(λ+μ)-=+,
=-.
∵与共线,且与不共线,∴=,
∴λ+μ=2,∴+=(λ+μ)
=≥,等号在μ=,λ=时成立.
广东省高考调研)如图在等腰直角△ABC中,点P是斜边BC的中点,过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n,则mn的最大值为( )
A.B.1
C.2D.3
[解析] 以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系,设等腰直角△ABC的腰长为2,则P点坐标为(1,1),B(0,2)、C(2,0),∵=m,=n,
∴=,=,∴M、N,
∴直线MN的方程为+=1,
∵直线MN过点P(1,1),∴+=1,∴m+n=2,
∵m+n≥2,∴mn≤=1,当且仅当m=n=1时取等号,∴mn的最大值为1.
二、填空题
11.(2010·
山东聊城、山东邹平一中模考)已知b>
0,直线b2x+y+1=0与ax-(b2+4)y+2=0互相垂直,则ab的最小值为________.
[答案] 4
[解析] ∵两直线垂直,∴ab2-(b2+4)=0,∴a=,∵b>
0,∴ab==b+≥4,等号在b=,即b=2时成立.
12.(文)(2010·
重庆文,12)已知t>
0,则函数y=的最小值为________.
[答案] -2
[解析] y==t+-4
因为t>
0,y=t+-4≥2-4=-2.
等号在t=,即t=1时成立.
安徽合肥六中质检)已知三个函数y=2x,y=x2,y=的图象都过点A,且点A在直线+=1(m>
0,n>
0)上,则log2m+log2n的最小值为________.
[解析] 由题易得,点A的坐标为(2,4),因为点A在直线+=1(m>
0)上,所以1=+≥2,∴mn≥16,所以log2m+log2n=log2(mn)≥4,故log2m+log2n的最小值为4.
13.(文)(2010·
南充市)已知正数a,b,c满足:
a+2b+c=1则++的最小值为________.
[答案] 6+4
[解析] ++=++=+++4≥2+2+2+4=6+4,
等号在=,=,=同时成立时成立.
即a=c=b=1-时等号成立.
北京延庆县)已知x>
0,lg2x+lg8y=lg2,则xy的最大值是________.
[答案]
[解析] ∵lg2x+lg8y=lg2,∴2x·
8y=2,即2x+3y=2,∴x+3y=1,∴xy=x·
(3y)≤·
2=,等号在x=3y,即x=,y=时成立.
14.(文)(2010·
重庆一中)设M是△ABC内一点,且·
=2,∠BAC=30°
,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别是△MBC,△MCA,△MAB的面积.若f(M)=,则+的最小值是________.
[答案] 18
[解析] ∵·
=||·
||cos30°
=|AB|·
|AC|=2,∴|AB|·
|AC|=4,
由f(M)的定义知,S△ABC=+x+y,
又S△ABC=|AB|·
|AC|·
sin30°
=1,
∴x+y=(x>
0)
∴+=2(x+y)=2≥2(5+2)=18,等号在=,即y=2x=时成立,∴min=18.
江苏无锡市调研)设圆x2+y2=1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A,B,则AB的最小值为______.
[答案] 2
[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在,且不为零,故设切线方程为+=1,则=1,
∴a2b2=a2+b2≥2ab,切线与两轴交于点A(a,0)和(0,b),不妨设a>
0,∴ab≥2,则AB=|AB|=≥≥2.
三、解答题
15.已知α、β都是锐角,且sinβ=sinαcos(α+β).
(1)当α+β=,求tanβ的值;
(2)当tanβ取最大值时,求tan(α+β)的值.
[解析]
(1)∵由条件知,sinβ=sin,
整理得sinβ-cosβ=0,
∵β为锐角,∴tanβ=.
(2)由已知得sinβ=sinαcosαcosβ-sin2αsinβ,
∴tanβ=sinαcosα-sin2αtanβ,
∴tanβ==
==≤=.
当且仅当=2tanα时,取“=”号,
∴tanα=时,tanβ取得最大值,
此时,tan(α+β)==.
16.(文)(2010·
江苏盐城调研)如图,互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ,要求P在射线AM上,Q在射线AN上,且PQ过点C,其中AB=30米,AD=20米.记三角形花园APQ的面积为S.
(1)当DQ的长度是多少时,S最小?
并求S的最小值.
(2)要使S不小于1600平方米,则DQ的长应在什么范围内?
[解析]
(1)设DQ=x米(x>
0),则AQ=x+20,
∵=,∴=,
∴AP=,则S=×
AP×
AQ=
=15(x++40)≥1200,当且仅当x=20时取等号.
(2)∵S≥1600,∴3x2-200x+1200≥0,
∴0<
x≤或x≥60
答:
(1)当DQ的长度是20米时,S最小,且S的最小值为1200平方米;
(2)要使S不小于1600平方米,则DQ的取值范围是0<
DQ≤或DQ≥60.
(理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万元此产品仍需再投入32万元,若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.
(1)试将年利润W(万元)表示为年广告
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