高一数学优质测试题三文档格式.docx
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(sinα)′=0.
3.设P为曲线C:
y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为
,则点P的横坐标的取值范围为( )
A..
B.[-1,0]
C.[0,1]D.
设点P的横坐标为x0,则y′|x=x0=2x0+2,由题意得0≤2x0+2≤1,解得-1≤x0≤-
A
4.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为( )
A.x+4y+3=0B.x+4y-9=0
C.4x-y+3=0D.4x-y-2=0
设切点坐标为(x0,y0),y′=4x,由题意得4x0=4,解得x0=1,y0=2,故切线l的方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.
D
5.函数f(x)=2x3-9x2+12x+1的单调减区间是( )
A.(1,2)B.(2,+∞)
C.(-∞,1)D.(-∞,1)和(2,+∞)
f′(x)=6x2-18x+12,令f′(x)<
0,
即6x2-18x+12<
0,解得1<
x<
2.
6.下列命题中,真命题的个数为( )
①函数y=x不存在极值点;
②x=0是函数y=|x|的极小值点;
③x=0是函数y=x3的极值点;
④在闭区间[a,b]上连续的函数一定存在极大值与极小值.
A.4个B.3个
C.2个D.1个
(1)
(2)正确,(3)(4)错误.
C
7.若曲线y=
在点P处的切线斜率为-4,则点P的坐标是( )
B.
或
C.
∵y′=
=-4,∴x2=
.从而x=±
分别代入y=
得P点坐标
,
8.函数y=2x3-3x2的极值情况为( )
A.在x=0处取得极大值0,但无极小值
B.在x=1处取得极小值-1,但无极大值
C.在x=0处取得极大值0,在x=1处取得极小值-1
D.以上都不对
因为y=2x3-3x2,所以y′=6x2-6x=6x(x-1).令y′=0,解得x=0或x=1.令y=f(x),y′=f′(x),当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
-
f(x)
-1
所以,当x=0时,函数y=2x3-3x2取得极大值0;
当x=1时,函数y=2x3-3x2取得极小值-1,故选C.
9.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是( )
A.5,-15B.5,4
C.-4,-15D.5,-16
y′=6x2-6x-12,令y′=0,得x=-1,2,
又f
(2)=-15,f(0)=5,f(3)=-4,
∴最大值、最小值分别是5,-15.
10.已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=( )
A.-2或2B.-9或3
C.-1或1D.-3或1
利用导数求解.
∵y′=3x2-3,∴当y′=0时,x=±
1.
则x,y′,y的变化情况如下表:
(-∞,-1)
(-1,1)
y′
y
c+2
c-2
因此,当函数图象与x轴恰有两个公共点时,必有c+2=0或c-2=0,∴c=-2或c=2.
11.已知y=
x3+bx2+(b+2)x+3是R上的单调增函数,则b的取值范围是( )
A.b<
-1或b>
2B.b≤-2或b≥2
C.-1<
b<
2D.-1≤b≤2
y′=x2+2bx+(b+2).由于函数在R上单调递增,
∴x2+2bx+(b+2)≥0在R上恒成立,
即Δ=(2b)2-4(b+2)≤0,解得-1≤b≤2.
12.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象的是( )
∵[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f′(x)+f(x)]ex,又x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,
∴f′(-1)+f(-1)=0,而选项D中f′(-1)>
f(-1)>
0,故D中图象不可能为y=f(x)的图象.
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把正确答案填在题中横线上)
13.下列四个命题中,正确命题的序号为________.
①若f(x)=
,则f′(0)=0;
②(logax)′=xlna;
③加速度是质点的位移s对时间t的导数;
④曲线y=x2在点(0,0)处有切线.
①因为f′(x)=
,当x趋近于0时平均变化率不存在极限,所以函数f(x)在x=0处不存在导数,故错误;
②(logax)′=
,故错误;
③瞬时速度是位移s对时间t的导数,故错误;
④曲线y=x2在点(0,0)处的切线方程为y=0,故正确.
④
14.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f
(1))处的切线方程是y=
x+2,则f
(1)+f′
(1)=________.
由导数的几何意义得f′
(1)=
,由点M在切线上得f
(1)=
×
1+2=
,所以f
(1)+f′
(1)=3.
3
15.已知函数f(x)=x3+ax2+
x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是________.
f′(x)=3x2+2ax+
,令f′(x)=0,此方程应有两个不相等的实数根,所以Δ>
0.
即4a2-12
>
∴a2-3a+2>
0,∴a>
2或a<
(-∞,1)∪(2,+∞)
16.某公司规定:
对于少于或等于150件的订购合同,每件售价为200元,对于多于150件的订购合同,每超过一件,则每件售价比原来减少1元,那么订购________件的合同将使公司的收益最大.
设超过x件,则收益
y=(200-x)(150+x)=-x2+50x+30000.
则y′=-2x+50,令y′=0得x=25,
即超过25件收益最大,所以订购175件.
175
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2-
ax+b,f
(1)=2,f′
(1)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程.
(1)f′(x)=2ax-
a.
由已知得
解得
∴f(x)=
x2-2x+
(2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=xlnx.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若对所有的x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1+lnx,
令f′(x)>
0,解得x>
,令f′(x)<
0,解得0<
从而f(x)在
上减少;
在
上增加,所以当x=
时,f(x)取得最小值-
(2)由题意得f(x)≥ax-1在[1,+∞)上恒成立,即不等式a≤lnx+
对于x∈[1,+∞)恒成立.
令g(x)=lnx+
则g′(x)=
.当x>
1时,g′(x)>
∴g(x)在[1,+∞)上是增加的,
所以g(x)的最小值为g
(1)=1.则a≤1.
故a的取值范围是(-∞,1].
19.(本小题满分12分)设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图象关于直线x=-
对称,且f′
(1)=0.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)的极值.
(1)∵f(x)=2x3+ax2+bx+1
∴f′(x)=6x2+2ax+b
=6
2+b-
即y=f′(x)关于直线x=-
对称
由题意知-
=-
,解得a=3.
又∵f′
(1)=0,
∴6+2a+b=0,解得b=-12.
(2)由
(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1
f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2)
令f′(x)=0,解得x1=-2,x2=1.
当x变化时,f(x),f′(x)变化情况如下:
(-∞,-2)
-2
(-2,1)
极大值
极小值
∴函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21,在x2=1处取得极小值f
(1)=-6.
20.(本小题满分12分)设f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
(1)因为f(x)=a(x-5)2+6lnx,
故f′(x)=2a(x-5)+
令x=1,得f
(1)=16a,f′
(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1).
由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=
(2)由
(1)知,f(x)=
(x-5)2+6lnx(x>
0),
f′(x)=x-5+
令f′(x)=0,解得x1=2,x2=3.
当0<
2或x>
3时,f′(x)>
故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;
当2<
3时,f′(x)<
0,故f(x)在(2,3)上为减函数.
由此可知,f(x)在x=2处取得极大值f
(2)=
+6ln2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln3.
21.(本小题满分12分)某厂生产某种电子元件,如果生产出一件正品,可获利200元,如果生产出一件次品,则损失100元,已知该厂制造电子元件过程中,次品率P与日产量x的函数关系是:
P=
(x∈N+).
(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数;
(2)为获最大盈利,该厂的日产量应定为多少件?
(1)由题意可知次品率P=日产次品数÷
日产量,每天生产x件,次品数为xP,正品数为x(1-P).
因为次品率P=
,当每天生产x件时,有x·
件次品,有x
件正品,所以T=200x·
-100x·
=25·
(2)T′=-25·
令T′=0,得x=16或x=-32(舍去)
16时,T′>
0;
当x>
16时,T′<
所以当x=16时,T最大,即该厂的日产量定为16件,能获得最大盈利.
22.(本小题满分14分)已知函数f(x)=-a2x2+ax+lnx(a∈R).
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