高等数学第一章函数与极限试题Word文档格式.docx
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B)
=e
C)
=-eD)
=e
5.已知
,则
()。
A.1;
B.
;
C.
D.
。
6.极限:
()
7.极限:
=()
C.0;
D.2.
8.极限:
=()
A.0;
C
9.极限:
C.2;
D.
.
10.极限:
C.
D.16.
二.填空题
11.极限
=.
12.
=_______________.
13.若
在点
连续,则
=_______________;
14.
___________;
15.
_________________;
16.若函数
,则它的间断点是___________________
17.绝对值函数
其定义域是,值域是
18.符号函数
其定义域是,值域是三个点的集合
19.无穷小量是
20.函数
在点x0连续,要求函数y=f(x)满足的三个条件是
三.计算题
21.求
22.设f(e
)=3x-2,求f(x)(其中x>
0);
23.求
(3-x)
;
24.求
(
)
25.求
26.已知
,求
的值;
27.计算极限
28.求它的定义域。
29.判断下列函数是否为同一函数:
⑴ f(x)=sin2x+cos2xg(x)=1
⑵
⑶
⑷
⑸y=ax2s=at2
30.已知函数f(x)=x2-1,
求f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2)
31.求
32.求
33.求
34.求
35.判断下列函数在指定点的是否存在极限
⑴
⑵
36.
37.
38.
39.求当x→∞时,下列函数的极限
40.求当x→∞时,下列函数的极限
41.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.研究函数在指定点的连续性
x0=0
49.指出下列函数在指定点是否间断,如果间断,指出是哪类间断点。
x=1
50.指出下列函数在指定点是否间断,如果间断,指出是哪类间断点。
,x=0
51.指出下列函数在指定点是否间断,如果间断,指出是哪类间断点。
52.证明f(x)=x2是连续函数
53.
54.
55.试证方程2x3-3x2+2x-3=0在区间[1,2]至少有一根
56.
57.试证正弦函数y=sinx在(-∞,+∞)内连续。
58.函数f(x)=x=
在点x=0处是否连续?
59.函数
=
是否在点
连续?
60.求极限
.
答案:
一.选择题
1.A【分析】本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.
【详解】方法一:
任一原函数可表示为
,且
当F(x)为偶函数时,有
,于是
,即
,也即
,可见f(x)为奇函数;
反过来,若f(x)为奇函数,则
为偶函数,从而
为偶函数,可见(A)为正确选项.
方法二:
令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);
令f(x)=x,则取F(x)=
排除(D);
故应选(A).
【评注】函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系?
2.D【分析】显然x=0,x=1为间断点,其分类主要考虑左右极限.
【详解】由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义,因此是间断点.
且
,所以x=0为第二类间断点;
,
,所以x=1为第一类间断点,故应选(D).
【评注】应特别注意:
从而
3C
4A
5C
6
7A
8
∵x→∞时,分母极限为令,不能直接用商的极限法则。
先恒等变形,将函数“有理化”:
原式=
.(有理化法)
9D
10
解原式
.▌
注等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限,不能在代数和的情形中使用。
如上例中若对分子的每项作等价替换,则
原式
二.填空题
11.2
12.1
13.0
14.5
15.
16.
17.
18.
19.在某一极限过程中,以0为极限的变量,称为该极限过程中的无穷小量
20.①函数yf(x)在点x0有定义;
②x→x0时极限
存在;
③极限值与函数值相等,即
21.【分析】
型未定式,一般先通分,再用罗必塔法则.
【详解】
=
22.
(x)=3lnx+1x>0
23.
24.
25.
26.
27.3
28.解:
由x+2≥0解得x≥-2
由x-1≠0解得x≠1
由5-2x>0解得x<2.5
函数的定义域为
{x|2.5>x≥-2且x≠1}或表示为(2.5,1)∪(1,-2)
29.⑴、⑸是同一函数,因为定义域和对应法则都相同,表示变量的字母可以不同。
⑵⑶不是同一函数,因为它们的定义域不相同。
⑷不是同一函数,因为它们对应的函数值不相同,即对应法则不同。
30.解:
f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x,
f(f(x))=f(x2-1)=(x2-1)2-1=x4-2x2
f(f(3)+2)=f(32-1+2)=f(10)=99
31.解:
32.解:
33.解:
34.解:
35.解:
⑴
因为
,
所以函数在指定点的极限不存在。
⑵因为
所以函数在指定点的极限
36.
37.
38.
39.
40.
43.=
49.间断,函数在x=1处无定义且左右极限不存在,第二类间断点
50.间断,函数在x=0处左右极限不存在,第二类间断点
51.间断,
但f(0)=1,两者不相等,第一类间断点
52.证明:
x0∈(-∞,+∞)
因为
,f(x0)=x02
所以
因此,函数f(x)=x2是连续函数。
55.证明:
设f(x)=2x3-3x2+2x-3,
则f(x)在[1,2]上连续,f
(1)=-2<
0,f
(2)=5>
根据零点定理,必存在一点ξ∈(1,2)使f(ξ)=0,
则x=ξ就是方程的根。
56.原式
57.证xÎ
(-∞,+∞),任给x一个增量Δx,对应的有函数y的增量
Δy=sin(
+Δx)-sinx=
∵
,由夹逼准则知,△y→0(Δx→0),再由x的任意性知正弦函数y=sinx在其定义域(-∞,+∞)上处处连续,即它是连续函数。
58.解注意f(x)是分段函数,且点
两侧f表达式不一致。
解法1∵f(0-0)=
,
f(0+0)=
,∴
.
又f(0)=0,∴函数f(x)=x在点x=0处连续(图1—19)。
解法2∵
,∴函数在点
左连续;
又∵
右连续,所以函数在点
连续。
59.证虽然f是分段函数,但点x=0两侧函数表达式一致。
∴
在点x=0处连续
60.解令ax–1=t,则x=loga(1+t),当x→0时,t→0,
∴原式
特别地,
,这表明x→0时,xex-1.
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- 高等数学 第一章 函数 极限 试题