柳卡图解行程问题复习过程Word格式.docx

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4]，于是两辆车间隔时间为。

两次追及期间，共行走[电车×

12]，行人行走了[行人×

12]，所以电车行走了[（电车-行人）×

12],两辆电车的间隔为[（电车-行人）×

12],于是两辆车的间隔时间为。

于是有，所以3×

（电车-行人）=电车+行人，即有：

电车=2×

行人。

所以分钟。

例74、从电车总站每隔一定时间开出辆电车，甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；

乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上一辆迎面开来的电车，那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？

假设甲、乙、电车共同相遇在A点，甲、电车下一次相遇在C点，乙、电车相遇在B点。

则B距A点距离为BA=米

C距A点距离为CA=82×

10=820米

所以BC两点相距的路程需电车10分钟15秒-10分钟=15秒=分

路程为820–615=205米

于是，电车的速度和为米/分

于是，当10分钟前与甲、乙相遇的电车离甲（820+82）×

10=9020米远。

两电车间隔为9020米。

所车间隔为9020÷

820=11分钟。

柳卡问题：

这是一个著名的数学问题，由法国数学家柳卡在19世纪一次数学大会上提出：

每天中午有一艘轮船从法国巴黎的勒阿弗尔开往美国纽约，且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿弗尔。

轮船在途中需要7天7夜。

假定所有轮船都以同一速度、同一航线行驶。

问某艘勒阿弗尔开出的轮船，在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？

后来，一位数学家画出了“路程图”（运程图），才得以解决。

中途13艘，首尾2艘，共15艘。

从图上可以看山，在某轮船开出的前7天，纽约港已有7艘轮船驶入航程，加上当天的一艘，共计8艘。

之后，纽约港每天还有1艘轮船驶入航程，共计7艘。

这样从勒阿弗尔港驶出的轮船在整个运行过程中，将要和本公司的15艘轮船相遇。

从图上看，当中一列（蓝色〉共有16行相交，除去勒阿弗尔港当天自己开出得一列（红色），相交数也是15。

例75、一条双向铁路上有11个车站。

相邻两站都相距7千米，从早晨7时开始，有18列货车由第11站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第一站，速度都为每小时60千米。

早晨8时，由第1站发出一列客车，向第11站驶去，时速是100千米，在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一个站，问在哪两个相邻站之间，货车能与3列客车先后相遇？

图像法：

画出示意图，利用示意图求解，但是要求图像一定的精确度。

所以，一般采用图像法与分析法结合使用，对有可能的情况进行分析。

由上图可知，客车在5、6两站遇见三辆客车。

分析法：

客车从一个站到下一个站所需的时间为分钟

所以客车到第一站的时间为

第一站8时0分第二站8时分第三站8时分

第四站8时分…………第十一站8时42分

而客车出发时，第一辆货车距它千米

所以客车与第一辆车相遇为8时分

相邻两货车相距为千米

所以，客车经过两辆货车的时间间隔为分钟

则客车与18辆货车相遇时间顺次为

第一辆：

8时分，即8时分

第二辆：

，即8时分

第三站：

第四站：

第五辆：

……

所以，客车在8时分到达第五站，8时21分到达第六站。

在此期间，它于8时……，8时……，8时分三次与货车相遇。

所以在第5、6两站之间，客车与货车三次相遇。

例76、长途汽车有甲、乙两个终点站，汽车要用4小时才能驶完全程。

从上午6点开始，每隔1时从甲、乙两站同时发出一辆公共汽车，最后一班车在下午4点发出。

问从甲站发车的汽车司机最多能看到几辆迎面驶来的公共汽车？

最少能看到到几辆？

最多9辆，最少5辆

例77、由A、B、C、D、E五名小学生进行马拉松比赛。

不管前半程怎样，当他们从折返点返回跑后半程时，每人的速度都是固定不变的。

他们三位朋友X、Y、Z分别在不同时间给五个人拍了一张纪念照。

最先拍的是X，然后是Y，最后按快门的是Z。

照片洗出后他们分别这样说:

X：

“我是在他们返回跑了10分钟后照的，当时五人的顺序是B、E、C、A、D，而且他们的间隔相等，都是30m”。

Z：

“我是在他们返回跑了30分钟后照的，当时五人的顺序是A、B、C、D、E，而且他们的间隔相等，都是20m”。

Y：

“我是什么时侯照的，自己也没记住，不过我照的时候他们的间隔也相等。

”

问：

Y是在他们返回跑了几分钟时照的？

先用图表示5个人的顺序变化。

从上图可以看出，A、C、E经常处于间隔相同的状态，当A正好在B和C中间时，E也正好在C和D的正中间，因此5人中的间隔是相同的。

为便于分析这个时间，在两侧B和C的正中间画上一条线来表示，如右图当此线和A线相交时，A就在B和C的正中间，所以可以求出这个时刻。

这时，图中的两个阴影部分的三角形是相似三角形。

因此，两个三角形的对应边的比（相似比）是30:

60=1:

2，所以m：

n=1:

2。

5人的间隔相同，，即6分40秒

也就是说，Y在他们返回来回跑了16分40秒后照的。

【巩固练习】某人沿着电车道旁的便道以4.5千米/小时的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过。

如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行，那么电车的速度是多少？

电车之间的时间间隔是多少？

优化设计

★例78、甲乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生。

为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生，如果甲乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的7倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场？

假设甲坐车时间为“1”，甲班行驶了1×

7速度时，乙班行驶了1×

1速度时，然后甲下车，汽车往回行驶，于是汽车与乙相遇，他们的路程差为7-1=6速度时，速度和8速度时，所需时间为时，于是乙步行时，换车；

甲坐车1时，步行。

因为甲乙速度一样，同时到达，所以甲、乙坐车、步行时间一样，于是甲乙坐车1时，甲乙步行时间1.75时。

所以，坐车与步行路程比为

于是步行路程为千米

所以汽车停在距机场4.8千米处。

例79、甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。

学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生，为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少？

为了使两班最短时间到达，汽车从一班换车地点至另一班换车地点时间尽量减小，所以先让速度快得甲班先走，这样乙班换车地点与甲班行至地点距离小，就节省了时间。

假设甲班先行走时间为“1”，则甲班行程4，乙班因为坐车行程48。

现在行程差为48-4=44，乙班下车，甲班坐车，但车、甲行程差为44。

车、甲速度和为4+48=52，于是需时，车、甲相遇。

此时，甲行走，乙行走。

所以，甲乙行程差为

乙、车速度差为48-3=45，车追上乙时间为，于是乙行走了，甲行走了，所以他们的步行距离比为：

所以甲乙两班步行的距离比为15:

11

方法二：

甲班步行走了AC，汽车载着乙班从A出发；

当汽车到达D时，放下乙班步行，返回到C与甲班相遇。

最后，汽车载着甲班与步行的乙班同时到达B。

在汽车与甲班在C相遇之间，甲班走了AC，汽车走了AD+DC。

由于在这一过程中，车和甲班始终在走，所以路程比等于速度比，即

因此，，

由此，

例80、甲乙两地相距35千米，小张、小李都要从甲地去乙地，他们只有一辆自行车，小张先步行，小李先骑车，同时出发。

小张步行的速度是每小时5千米，小李步行的速度是每小时4千米。

两人骑车的速度都是每小时20千米。

那么两人从甲地到乙地最短需要多少小时？

小李骑车到达甲乙之间的丙地，改为步行，小张到丙地后骑车，两人同时到达乙地。

此时两人到达乙地需要时间最少。

方法一方程法设甲丙距离为x，则小李需要时间，小张需要时间

因为同时出发，同时到达，所以小李、小张所需时间相等。

于是，，所以千米

于是所需时间为小时，即4小时45分钟。

方法二比例法求出甲丙：

丙乙的路程比。

知道骑车“1”距离时间为，小李步行“1”距离时间为，小张步行“1”距离时间为。

小李因走路程“1”耽搁的时间与小张因走路程“1”耽搁的时间之比为，因为所需时间相等，所以路程比为3:

4。

因为小李与小张的步行、骑车距离正好相反，所以小李步行路程为千米，所以甲丙路程为35-15=20千米。

小李步行时间为小时，即4小时45分钟。

例81、一条环形道路，周长为2千米，甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2周。

现有自行车2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑。

已知甲步行的速度为每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时20千米。

请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点。

那么环行2周最少要用多少分钟？

求出甲乙步行的路程比。

假设甲乙均始终骑车，则甲乙同时到达。

在一个单位路程“1”内，甲乙骑车所用时间：

，甲步行所用时间：

，乙步行所用时间：

现在因步行耽搁的时间比为：

，于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即4:

3。

又因为乙、丙速度相同，所以步行距离相等。

于是甲乙丙步行距离比为：

甲：

乙：

丙=4:

3:

因为有3人2辆自行车，所以始终有人在步行，一圈的距离等于甲乙丙步行距离和。

（注意到车子放在一周的不同地方，所以总有一人从一停车处走到另一停车处）。

于是甲步行的距离为？

千米。

于是骑车距离为2×

2-0.8=3.2千米；

所以甲需要时间为？

=0.32小时。

即0.32×

60=19.2分钟。

环形两周的最短时间为19.2千米。

例82、下图为某邮递员负责的邮区街道图，图中交叉点为邮户，每个小长方形的长为180米，宽为150米。

如果邮递员每分钟行200米，在每个邮户停留半分钟，那么从邮局出发走遍所以邮户，再回到邮局，最少要用多少分钟？

此题的关键是求出最佳路径，显然不满足一笔画，我们也要走到个个交点。

观察上图，前两种路线有重复部分，而第三个路线比第四个路线长。

所以第四种路线最短。

至少要走3900米，有6×

4-1=23个邮户。

所以需3900÷

200+（6×

4-1）×

0.5=19.5+11.5=31分钟。

例83、有一个沙漠地带，汽车每天行驶200千米，每辆汽车载运可行驶24天的汽油。

现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发，并在完成任务后，沿原路返回。

为了让甲车尽可能开出更远的距离，乙车在行驶一段路程后，仅留下自己返回出发