故wB()E.故z=((a1)w+y)/aE,因此,B(x)E.所以xint(E).
(2)因int(E)=E,故有cl(int(E))cl(E).下面证明相反的包含关系.
若xcl(E),则>0,存在yE,使得||xy||2.
因ny/(n+1)y(n).故存在N+,使得||Ny/(N+1)y||2.
令z=Ny/(N+1),则zE,且P(z)N/(N+1)<1,
由
(1)知zint(E).而||zx||||zy||+||yx||2+/2=.
故xcl(int(E)),因此cl(E)cl(int(E))所以cl(int(E))=cl(E).
1.5.3证明:
因为C是紧集,所以C是闭集.
因为C是紧集,故C的任意子集都列紧.
而T(C)C,故T(C)列紧.
于是,由Schauder不动点定理,T在C上有一个不动点.
[Schauder定理:
B*空间中闭凸集C上使T(C)列紧的连续自映射T必有不动点]
1.5.4
1.5.5证明:
设C={x=(x1,x2,...,xn)n|1inxi=1,xi0(i=1,2,...,n)}.
则C是有界闭集,且是凸集,因此C是紧凸集.
因为xC,xi不全为0,而aij>0,故Ax的各分量也非负但不全为零.
xC,设f(x)=(Ax)/(1in(Ax)i),则f(x)C.
容易验证f:
CC还是连续的.
由Brouwer不动点定理,存在f的不动点x0C.
即f(x0)=x0,也就是(Ax0)/(1in(Ax0)i)=x0.
令=1in(Ax0)i,则有Ax0=x0.
1.5.6证明:
设B={uC[0,1]|[0,1]u(x)dx=1,u(x)0},
则B是C[0,1]中闭凸集.
设max(x,y)[0,1][0,1]K(x,y)=M,min(x,y)[0,1][0,1]K(x,y)=m,
[0,1]([0,1]K(x,y)dy)dx=N,maxx[0,1]|[0,1]K(x,y)dy|=P.
令(Su)(x)=([0,1]K(x,y)u(y)dy)/([0,1]([0,1]K(x,y)u(y)dy)dx)
则[0,1](Su)(x)dx=1,u(x)0;
即SuB.因此S是从B到B的映射.
u,vB,
||[0,1]K(x,y)u(y)dy[0,1]K(x,y)v(y)dy||
=||[0,1]K(x,y)(u(y)v(y))dy||
=maxx[0,1]|[0,1]K(x,y)(u(y)v(y))dy|
M·||uv||;
因此映射u[0,1]K(x,y)u(y)dy在B上连续.
类似地,映射u[0,1]([0,1]K(x,y)u(y)dy)dx也在B上连续.
所以,S在B上连续.
下面证明S(B)列紧.
首先,证明S(B)是一致有界集.uB,
||Su||=||([0,1]K(x,y)u(y)dy)/([0,1]([0,1]K(x,y)u(y)dy)dx)||
=maxx[0,1]|[0,1]K(x,y)u(y)dy|/([0,1]([0,1]K(x,y)u(y)dy)dx)
(M·[0,1]u(y)dy|/(m[0,1]([0,1]u(y)dy)dx)=M/m,
故S(B)是一致有界集.
其次,证明S(B)等度连续.uB,t1,t2[0,1],
|(Su)(t1)(Su)(t2)|
=|[0,1]K(t1,y)u(y)dy[0,1]K(t2,y)u(y)dy|/([0,1]([0,1]K(x,y)u(y)dy)dx)
[0,1]|K(t1,y)K(t2,y)|u(y)dy/(m[0,1]([0,1]u(y)dy)dx)
(1/m)·maxy[0,1]|K(t1,y)K(t2,y)|
由K(x,y)在[0,1][0,1]上的一致连续性,
>0,存在>0,使得(x1,y1),(x2,y2)[0,1],只要||(x1,y1)(x2,y2)||<,
就有|K(x1,y1)K(x2,y2)|故只要|t1t2|<时,y[0,1],都有|K(t1,y)K(t2,y)|此时,|(Su)(t1)(Su)(t2)|(1/m)·maxy[0,1]|K(t1,y)K(t2,y)|
(1/m)·m=.
故S(B)是等度连续的.
所以,S(B)是列紧集.
根据Schauder不动点定理,S在C上有不动点u0.
令=([0,1]([0,1]K(x,y)u0(y)dy)dx.
则(Su0)(x)=([0,1]K(x,y)u0(y)dy)/=(Tu0)(x)/.
因此(Tu0)(x)/=u0(x),Tu0=u0.
显然上述的和u0满足题目的要求.
1.6.1(极化恒等式)证明:
x,yX,q(x+y)q(xy)=a(x+y,x+y)a(xy,xy)
=(a(x,x)+a(x,y)+a(y,x)+a(y,y))(a(x,x)a(x,y)a(y,x)+a(y,y))
=2(a(x,y)+a(y,x)),
将iy代替上式中的y,有
q(x+iy)q(xiy)=2(a(x,iy)+a(iy,x))=2(ia(x,y)+ia(y,x)),
将上式两边乘以i,得到iq(x+iy)iq(xiy)=2(a(x,y)a(y,x)),
将它与第一式相加即可得到极化恒等式.
1.6.2证明:
若C[a,b]中数||·||是可由某积(·,·)诱导出的,
则数||·||应满足平行四边形等式.
而事实上,C[a,b]中数||·||是不满足平行四边形等式的,
因此,不能引进积(·,·)使其适合上述关系.
数||·||是不满足平行四边形等式的具体例子如下:
设f(x)=(x–a)/(b–a),g(x)=(b–x)/(b–a),则||f||=||g||=||f+g||=||f–g||=1,
显然不满足平行四边形等式.
1.6.3证明:
xL2[0,T],若||x||=1,由Cauchy-Schwarz不等式,有
|[0,T]e(T)x()d|2([0,T](e(T))2d)([0,T](x())2d)
=[0,T](e(T))2d=e2T[0,T]e2d=(1e2T)/2.
因此,该函数的函数值不超过M=((1e2T)/2)1/2.
前面的不等号成为等号的充要条件是存在,使得x()=e(T).
再注意||x||=1,就有[0,T](e(T))2d=1.解出=((1e2T)/2)1/2.
故当单位球面上的点x()=((1e2T)/2)1/2·e(T)时,
该函数达到其在单位球面上的最大值((1e2T)/2)1/2.
1.6.4证明:
若xN,则yN,(x,y)=0.而MN,故yM,也有(x,y)=0.
因此xM.所以,NM.
1.6.5
1.6.6解:
设偶函数集为E,奇函数集为O.
显然,每个奇函数都与正交E.故奇函数集OE.
fE,注意到f总可分解为f=g+h,其中g是奇函数,h是偶函数.
因此有0=(f,h)=(g+h,h)=(g,h)+(h,h)=(h,h).
故h几乎处处为0.即f=g是奇函数.所以有EO.
这样就证明了偶函数集E的正交补E是奇函数集O.
1.6.7
证明:
首先直接验证,c,S={e2inx|n}是L2[c,c+1]中的一个正交集.
再将其标准化,得到一个规正交集S1={n(x)=dne2inx|n}.
其中的dn=||e2inx||(n),并且只与n有关,与c的选择无关.
(1)当b–a=1时,根据实分析结论有S={}.
当b–a<1时,若uL2[a,b],且uS,
我们将u延拓成[a,a+1]上