高考数学一轮复习专题函数模型及其应用教学案文WORD版Word下载.doc
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对数函数模型
f(x)=blogax+c
幂函数模型
f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)
(2)三种函数模型的性质
y=ax(a>
1)
y=logax(a>
y=xn(n>
0)
在(0,+∞)
上的增减性
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0,当x>
x0时,有logax<
xn<
ax
2.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题:
弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
(2)建模:
将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
(3)解模:
求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:
将数学问题还原为实际问题的意义.
以上过程用框图表示如下:
【疑点清源】
1.要注意实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域.
2.解决实际应用问题的一般步骤
深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中的数量关系,把握其中的数学本质.
由题设中的数量关系,建立相应的数学模型,将实际问题转化为数学问题.
用数学知识和方法解决转化出的数学问题.
回到题目本身,检验结果的实际意义,给出结论.
高频考点一、用函数图象刻画变化过程
例1、
(1)设甲、乙两地的距离为a(a>
0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
(2)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
【答案】
(1)D
(2)B
【感悟提升】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:
当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.
(2)验证法:
当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
【变式探究】已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是( )
【答案】 D
【解析】 依题意知当0≤x≤4时,f(x)=2x;
当4<
x≤8时,f(x)=8;
当8<
x≤12时,f(x)=24-2x,观察四个选项知,选D.
高频考点二 已知函数模型的实际问题
例2、候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:
m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3(其中a、b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1m/s.
(1)求出a、b的值;
(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?
解
(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0m/s,此时耗氧量为30个单位,故有a+blog3=0,即a+b=0;
当耗氧量为90个单位时,速度为1m/s,故a+blog3=1,整理得a+2b=1.
【感悟提升】求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该模型求解实际问题.
【变式探究】某般空公司规定,乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.
【答案】 19
【解析】 由图象可求得一次函数的解析式为y=30x-570,令30x-570=0,解得x=19.
高频考点三 构造函数模型的实际问题
例3、某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车,在A地的销售利润(单位:
万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:
万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:
辆),若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是( )
A.10.5万元 B.11万元
C.43万元 D.43.025万元
【答案】 C
【解析】 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆,则在B地销售该品牌的汽车(16-x)辆,所以可得利润y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1(x-)2+0.1×
+32.
因为x∈[0,16],且x∈N,所以当x=10或11时,总利润取得最大值43万元.
【变式探究】
(1)世界人口在过去40年翻了一番,则每年人口平均增长率约是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)( )
A.1.5%B.1.6%C.1.7%D.1.8%
(2)某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A.略有盈利
B.略有亏损
C.没有盈利也没有亏损
D.无法判断盈亏情况
【答案】
(1)C
(2)B
【举一反三】某市出租车收费标准如下:
起步价为8元,起步里程为3km(不超过3km按起步价付费);
超过3km但不超过8km时,超过部分按每千米2.15元收费;
超过8km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了km.
【答案】 9
【解析】 设出租车行驶xkm时,付费y元,
则y=
由y=22.6,解得x=9.
思维升华 构建数学模型解决实际问题,要正确理解题意,分清条件和结论,理顺数量关系,将文字语言转化成数学语言,建立适当的函数模型,求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.
【变式探究】
(1)一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:
驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL,那么,此人至少经过小时才能开车.(精确到1小时)
(2)某企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低,该企业需要更新设备的年数为( )
A.10B.11C.13D.21
【答案】
(1)5
(2)A
高频考点四、函数应用问题
例4、已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完,每万部的销售收入为R(x)万美元,且R(x)=
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数【解析】式;
(2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?
并求出最大利润.
解
(1)当0<
x≤40时,W=xR(x)-(16x+40)
=-6x2+384x-40,
当x>
40时,W=xR(x)-(16x+40)
=--16x+7360.
所以W=
当x=32时,W取得最大值6104万元。
【特别提醒】
(1)此类问题的关键是正确理解题意,建立适当的函数模型.
(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的范围,特别是端点值.
【方法技巧】
1.认真分析题意,合理选择数学模型是解决应用问题的基础.
2.实际问题中往往解决一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.
3.解函数应用题的五个步骤:
①审题;
②建模;
③解模;
④还原;
⑤反思.
高频考点五、构建函数模型解决实际问题
例5、
(1)(2016·
四川卷)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:
lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)( )
A.2018年B.2019年 C.2020年 D.2021年
(2)为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层,体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:
万元)与隔热层厚度x(单位:
cm)满足关系:
C(x)=(0≤x≤10,k为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
①求k的值及f(x)的表达式;
②隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?
并求最小值.
【答案】 B
(2)解 ①当x=0时,C=8,∴k=40,
∴C(x)=(0≤x≤10),
∴f(x)=6x+=6x+(0≤x≤10).
②由①得f(x)=2(3x+5)+-10.
令3x+5=t,t∈[5,35],
则y=2t+-10,∴y′=2-,
当5≤t<
20时,y′<
0,y=2t+-10为减函数;
当20<
t≤35时,y′>
0,y=2t+-10为增函数.
∴函数y=2t+-10在t=20时取得最小值,此时x=5,
因此f(x)的最小值为70.
∴隔热层修建5cm厚时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元.
【方法规律】
(1)构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法:
①构建二次函数模型,常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.
②构建分段函数模型,应用分段函数分段求解的方法.
③构建f(x)=x+(a>
0)模型,常用均值不等式、导数等知识求解.
(2)解函数应用题的程序是:
④还原.
【变式探究】
(1)某食品的保鲜时间y(单位:
小时)与储藏温度x(单位:
℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是________小时.
(2)某旅游景点预计2017年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位:
万人)与x的关系近似地满足p(x)=x(x+1)(39-2x)(x∈N+,且x≤12).已知第x个月的人均消费额q(x)(单位:
元)与x的近似关系是q(x)=
①写出2017年第x个月的旅游人数f(x)(单位:
万人)与x的函数关系式;
②试问2017年第几个月旅游消费总额
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