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是分式x
10分母中含有字母的代数式叫做分式.如果分式的分母为零,那么分式无意义;
如果分式的分子为零但
分母不为零,则分式的值为零.分子、分母中不含公因式的分式叫做最简分式.
2x,911x取何值时,分式的值为零?
x,3
2,x,9,0提醒:
当即当时分式的值为零。
x,3,x,3,0,
2,x512解分式方程,1,3,xx,3
解得,代入得最简公分母为0,发现是原方程的增根,原方程无解。
x,,3x,,3
13形如aa(0),的式子叫做二次根式.
3,2将32,32,化到最简,分子分母同时乘以的因式可以是?
答:
(或的k倍,k
3,2
为有理数)
最简二次根式必须满足三点:
分母中不含根号,根号中不含分母,根号中不含能开方的数或式。
2axbxca,,,,0(0).
215你还记得一元二次方程axbxca,,,,0(0)的求根公式吗?
14一元二次方程的一般式:
2,,,bbac42提醒:
xbac,,,(40).2a
216若一元二次方程axbxca,,,,0(0)xx的两根为、,12
bc,则.(这个可以不掌握,偶尔用)xxxx,,,,,,.x,x,121212aaa
2217关于xaxbxca,,,,0(0)的一元二次方程,不解方程,可根据根的判别式而直接,,,bac4
判定方程的根的情况:
(1)当>
时,方程有两个不相等的实数根.,0
(2)当=时,方程有两个相等的实数根.,0
(3)当<
时,方程没有实数根.,0
218若方程ax,+bx+c=0有两个实数根,则
(1)a0;
(2),,0
219解方程:
(x,2),5(x,2),6,0
将(x,2,2)(x,2,3),0看成一个整体,则方程利用十字相乘可分解成。
x,2
20列方程解应用题的基本步骤:
1、审题;
2、设元;
3、列方程;
4、检验(正确及合理);
5、写答案.
21如果关于x的不等式(a+1)x>
a+1的解集为x<
1,那么a的取值范围是
不等式两边乘除负数时会,所以这里,所以。
a,1,0a,,1
x,0.6,22已知不等式组只有一个整数解,则a的取值范围是,x,a,
不等式组有解说明不等式组的解集为,为了使这个范围内只有一个整数解,必须有0.6,x,a
,特别要注意范围两头拦,注意哪一头有等号。
1,a,2
k223一次函数y,ax,bx,cy,kx,b图象为直线,反比例函数图象为双曲线,二次函数图象y,x
为抛物线。
其中k、a都不为0。
1提醒:
函数不是一次函数,y,不是反比例函数。
y,xx,1
24正比例函数y=kx(k)的图象是经过原点的直线。
0
当k>
0时,函数图象经过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<
0时,函数图象经过二、四象限,y随x的增大而减小。
如何求解k:
只要一个不是原点的(a,b)代入
25y=kx+b
(1)当k=0时,此时函数为y=b(常值函数),图象是垂直于y轴(平行或重合于x轴)的直线。
当b,0时,为y,kx,,,0时,此时函数为一次函数y=kx+b,当b,0时,为标准形式
,
(2)当k当k>
0,b>
0时,函数图象经过一,二,三象限;
0,b<
0时,函数图象经过一,三,四象限;
当k<
0时,函数图象经过一,二,四象限;
0时,函数图象经过二,三,四象限.
k26反比例函数y=,(k0)的图象是双曲线。
x
0时,函数图象在一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小;
0时,函数图象在二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大。
提醒:
在判断大小关系时,注意强调“在各自象限内”或“x>
0”或“x<
0”.27二次函数y=ax?
+bx+c(a)的图象是抛物线.,0
2,4acbbb
(1)对称轴:
直线x=-;
顶点:
(-,)4a2a2a
(2)a,b同号时,对称轴在y轴左侧;
a,b异号时,对称轴在y轴右侧;
b=0时,对称轴在y轴
,0时,与X轴有两个交点,
(3)根的判别式=b?
-4ac,,,0时,与X轴有一个交点,
,,0时,与X轴没有交点,
(4)当=4时,三角形为等腰直角三角形(抛物线与x轴两交点和抛物线顶点构成的三角形),
当=12时,三角形为等边三角形。
(可以不掌握),
(5).抛物线与x轴两交点间的距离=.(可以不掌握)a
128如图,直线y,kx,b经过A(2,1)B(-1,-2)两点,则不等式x,kx,b,,2的解集为。
2
该题千万不要用待定系数法求出的值再来k、b
解不等式组,
1应该添加一条直线y,x,如图,再利用函数性质读2
图,读出答案。
1,x,2
2k,529若函数y=是反比例函数,则k=___.
(2)kx,
2,2k,5,,1k,5提醒:
当时,即当时函数y=是反比例函数。
k,,2
(2)kx,,k,2,0,
k30如图,过双曲线y,(k,0)图象上任一点分别作x轴、y轴的垂线段,与x轴y轴围成矩形面积为x
12,求双曲线表达式。
kkka,,k,12图象上有一点,则该矩形面积为,y,(k,0)(a,)aax
设双曲线12所以双曲线表达式为。
注意矩形的长度应该为。
y,,kx
231已知二次函数y,ax,bx,c的图象如图所示,下列结论中?
abc>0;
?
b=2a;
a+b+c<
0;
a-b+c>0正确的个数是()
A.4B.3C.2D.l
a的符号看抛物线开口,
b的符号看对称轴和a的符号,原则是“左同右异”,
常数c的符号看图象与y轴交点的纵坐标,也适用于一次函数,
a+b+c的符号看横坐标为1的点的纵坐标符号,
a-b+c的符号看横坐标为-1的点的纵坐标符号。
22此外,的符号看图象与x轴交点的个数,两个则大于0,一个等于0,没有就小于0。
b,4acb,4ac
232把抛物线y=-4(x-1)-2向左平移3个单位,向上平移1个单位,得到的关系式是_________.提醒:
两种方法,一是从平移前到平移后,括号内常数“”,括号后常数“”二是看顶点平移后变为多少,照后者写出新关系式。
33分别求以下二次函数的表达式,并且已知
(1)二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0);
(2)抛物线与x轴的交点是A(-2,0)、B(1,0),且经过点C(2,8)。
(3)二次函数的图象经过点(-3,2),(2,7),(0,-1)。
求二次函数的表达式用待定系数法,有这样三种设法
方法:
(1)中已知顶点,采用设法,设为2y,a(x,1),4,然后将点B代入求a;
(2)中已知与x轴的两个交点,采用两点式设法,设为y,a(x,2)(x,1),然后将点C代入求a;
2(3)中只是知道三个普通点,采用设法,设为y,ax,bx,c,然后将三个点代入解方程组。
根据表格来求二次函数表达式时,多半根据对称性得到顶点,再用方法
(1);
22,b4acbb4ac,b2一般式可以变形成,,,(,)ya(x),,所以可以不用配方而用来算顶点。
2a4a2a4a
34函数的应用
图象通常会给折线图,这就说明图象是两条直线,那么函数是分段的函数;
常考根据图象直接写出使y>
y的x的取值范围,要注意在x=0处是没有意义图象断开的;
12
关键词:
动点,面积,利润,涵洞能否通过,喷泉,要注意x有限制范围时最值不在顶点处,有时要自己建坐标系:
以**为原点,以**为x轴,以**为y轴建立如图所示的直角坐标系。
35将命题改写成“如果„„,那么„„”的形式
改写命题是扩句,要补出主语写完整。
分清条件,结论。
“同角的余角相等”改写成“如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等”;
“对顶角相等”改写
成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”„
36反证法只要会写命题的反面
是指举出一个满足条件,不满足结论的实例,使“谣言”不攻自破;
是指“先退一步,假设原命题条件的反面正确,但通过证明,发现假设的东东和实际或定理或公
理相违背”,让假设不能自圆其说,于是原命题成立。
包含“反设”、“归谬”、及“结论”三步,中考要求会“反设”。
比如“已知:
a,b是实数,且满足ab=0,求证:
a、b中至少有一个为0”,我们要假设“a?
0且b?
0”。
37什么叫点到直线的距离?
(从直线外一点向已知直线作垂线,这点到垂足之间的距离叫做点到直线的
距离)
38锐角α的余角、补角是什么?
E已知:
如图AB//CD,EG、FG分别平分,BEF、,DFE.39AB1)证明EG,FG2)若,BEF,90:
,证明,DFE,90:
G11提醒:
1)用到了整体思想,由于平分,,,GEF,,GFE,(,BEF,,DFE),,180:
CD22F这是个基本模型,完全可以这样出题,点G是?
ACM的内心,?
M=50?
求?
G;
2)两直线平行,同旁内角互补。
一定是相加得180?
才能用减法得到?
DFE=90?
用相等得90?
是错的。
40证明技巧提醒:
1)平行线+角平分线=>
等腰;
2)全等的证明有SAS,ASA,AAS,SSS,直角三角形全等也不一定就是HL;
3)等角的余角相等很常用,它不叫等量代换;
4)翻折题必有线段相等,角相等,常常设一个未知
数,打造勾股三角形;
5)能用垂直平分线解决的不必用全等证;
6)平行于同一直线的两直线平行,
它不叫等量代换。
41画图技巧提醒:
1)尺规作图要有痕迹,作答。
凡是画弧能解决的问题就可以用尺规作图,比如画已知角、已知线段、
角平分线,垂直平分线,外接圆,截取长度等;
2)格点题不用刻度和圆规,若实在不会数格子解决,请只保留清晰格点,将其他途径得到的痕迹“毁
尸灭迹”;
3)常见的最短路线画图原型是饮马问题:
CD为河,一匹马在点A处,它到河边喝水后回到马厩B所经过的最短路线怎么画?
作点A关于CD的对称点A
’,连接BA’BB交CD于点P,线段BA’即为最短路线。
AA可在CD上另取一点用三角形两边之和大于
DC第三边来证明,一般画图题不需证明。
DCPA'
42三角形的重心、垂心、内心、外心分别是什么的交点?
重心:
三条中线的交点(重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍)
垂心:
三条高线的交点
内心:
三条角平分线的交点(三角形内心是三角形内切圆的圆心,它到三角形三边的距离相等)
外心:
三边中垂线的交点(三角形外心是三角形外接圆的圆心,它到三角形三个顶点的距离相等)(直
角三角形的外心在斜边中点,钝角三角形的外心在三角形外)
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