微分几何教案第一讲Word文件下载.docx
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即。
设曲线
,
显然该曲线不是以弧长为参数。
为研究曲线的弯曲情况,首先介绍曲线的曲率。
对于不同的曲线其弯曲程度可能不同,如半径较大的圆弯曲程度较小,而半径较小的圆弯曲程度较大。
从直观来看,曲线弯曲程度较大时,其切向量方向的改变也较快,可以用曲线的切向量对弧长的旋转速度来刻划曲线的弯曲程度。
曲线以弧长s为参数,
故。
曲率。
例1、直线:
为常向量,
例2、圆:
对于一般参数t,则:
挠率:
当空间曲线不是平面曲线时,即有扭曲时,考虑扭曲程度,即曲线偏离平面的程度。
为弧长参数。
设为曲率,为主法向量。
设则也为单位向量。
而
于是,
故
设称为曲线的挠率。
例求圆柱螺线
的曲率和挠率,h和是常数。
为弧长。
均为常数。
可得到:
若以t为参数:
的曲率和挠率,
定理曲线的弧长、曲率及挠率是运动的不变量。
即
设曲线
且为常数向量。
A为正交矩阵,且
运动,仿射变换,镜面反射。
A=I(单位矩阵)为平移变换,时为旋转变换。
因
因
同理略(作业)。
§
3Frenet公式
由前面
曲线:
为弧长参数.
切向量:
于是得:
对于曲线在每点s处,两两单位正交,称为曲线在s处的Frenet标架。
应用:
例设为单位球面上的一条曲线,s为弧长参数,均不为零。
证:
设在上,则
即
又
对上式两边求导:
故
故证毕。
4曲线在一点邻近的性质
由Tayler展开:
代入得:
若以为新生坐标系,则坐标分量为:
当时,只取上述每项中的第一项得:
方向,
方向。
曲线在附近在个平面上的投影:
,密切平面。
,从切平面()。
,法平面()。
5曲线论基本定理
直线:
平面曲线:
螺线:
常数.(例P4的圆柱螺线,
常数)。
定理设函数均为(a,b)上连续可微函数,则存在以弧长s为参数的正则曲线使得以为曲率,为挠率的曲线。
证明:
用到解常微分方程组的问题,即要
解
二、E3中的曲面
1
即称为E3中的二维曲面,(u,v)为参数。
例如,椭球面
可以表示为
锥面
单叶双曲面
。
当成为一条曲线,称为v-曲线。
同样,
当为u-曲线。
在点,在处定义:
分别为两条参数曲线在处的切向量。
若线性无关,则,称这样的曲面为正则曲面。
切向量、切平面:
曲面S:
S上曲线c:
处
即曲线c的切向量可由线性表出。
反之,设切向量:
为常数。
则,设
则
则,
给定了一个切向量,就存在S上以此向为切向量的曲线。
定理曲面S上所有过点的曲线的切向量构成一个二维线性空间,称这个空间为切空间,记为为的一组基,中的过点的向量称为切向量。
在切空间中定义内积:
设
法向量:
若在点
则称其为曲面S(surface)的法向量。
称
为S的单位法向量。
例设曲面(平面)
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- 微分 几何 教案 第一