九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题含答案含答案解析Word格式.docx
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4(k﹣)=(2k﹣3)2=0,
k=,
∴b+c=2k+1=4.
∵b+c=4=a,
∴此时,边长为a,b,c的三条线段不能围成三角形.
∴△ABC的周长为10.
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系,分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键.
2.阅读下列材料
计算:
(1﹣﹣)×
(+)﹣(1﹣﹣)(+),令+=t,则:
原式=(1﹣t)(t+)﹣(1﹣t﹣)t=t+﹣t2﹣+t2=
在上面的问题中,用一个字母代表式子中的某一部分,能达到简化计算的目的,这种思想方法叫做“换元法”,请用“换元法”解决下列问题:
(1)计算:
(+)﹣(1﹣﹣)×
(+)
(2)因式分解:
(a2﹣5a+3)(a2﹣5a+7)+4
(3)解方程:
(x2+4x+1)(x2+4x+3)=3
【答案】
(1);
(2)(a2﹣5a+5)2;
(3)x1=0,x2=﹣4,x3=x4=﹣2
(1)仿照材料内容,令+=t代入原式计算.
(2)观察式子找相同部分进行换元,令a2﹣5a=t代入原式进行因式分解,最后要记得把t换为a.
(3)观察式子找相同部分进行换元,令x2+4x=t代入原方程,即得到关于t的一元二次方程,得到t的两个解后要代回去求出4个x的解.
(1)令+=t,则:
原式=(1﹣t)(t+)﹣(1﹣t﹣)t=t+﹣t2﹣﹣t+t2+=
(2)令a2﹣5a=t,则:
原式=(t+3)(t+7)+4=t2+7t+3t+21+4=t2+10t+25=(t+5)2=(a2﹣5a+5)2
(3)令x2+4x=t,则原方程转化为:
(t+1)(t+3)=3
t2+4t+3=3
t(t+4)=0
∴t1=0,t2=﹣4
当x2+4x=0时,
x(x+4)=0
x1=0,x2=﹣4
当x2+4x=﹣4时,
x2+4x+4=0
(x+2)2=0
x3=x4=﹣2
本题考查用换元法进行整式的运算,因式分解,解一元二次方程.利用换元法一般可达到降次效果,从而简便运算.
3.已知:
关于x的方程x2-4mx+4m2-1=0.
(1)不解方程,判断方程的根的情况;
(2)若△ABC为等腰三角形,BC=5,另外两条边是方程的根,求此三角形的周长.2
(1)有两个不相等的实数根
(2)周长为13或17
试题分析:
(1)根据方程的系数结合根的判别式,可得出△=4>0,由此可得出:
无论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根;
(2)根据等腰三角形的性质及△>0,可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根,将x=5代入原方程可求出m值,通过解方程可得出方程的解,在利用三角形的周长公式即可求出结论.
试题解析:
解:
(1)∵△=(﹣4m)2﹣4(4m2﹣1)=4>0,∴无论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)∵△>0,△ABC为等腰三角形,另外两条边是方程的根,∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根.
将x=5代入原方程,得:
25﹣20m+4m2﹣1=0,解得:
m1=2,m2=3.
当m=2时,原方程为x2﹣8x+15=0,解得:
x1=3,x2=5.∵3、5、5能够组成三角形,∴该三角形的周长为3+5+5=13;
当m=3时,原方程为x2﹣12x+35=0,解得:
x1=5,x2=7.∵5、5、7能够组成三角形,∴该三角形的周长为5+5+7=17.
综上所述:
此三角形的周长为13或17.
点睛:
本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程,解题的关键是:
(1)牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”;
(2)代入x=5求出m值.
4.某中心城市有一楼盘,开发商准备以每平方米7000元价格出售,由于国家出台了有关调控房地产的政策,开发商经过两次下调销售价格后,决定以每平方米5670元的价格销售.
(1)求平均每次下调的百分率;
(2)房产销售经理向开发商建议:
先公布下调5%,再下调15%,这样更有吸引力,请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠?
为什么?
(1)平均每次下调的百分率为10%.
(2)房产销售经理的方案对购房者更优惠.
(1)根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求,设出未知数,然后列方程求解即可;
(2)分别求出两种方式的增长率,然后比较即可.
(1)设平均每次下调x%,则
7000(1﹣x)2=5670,解得:
x1=10%,x2=190%(不合题意,舍去);
答:
平均每次下调的百分率为10%.
(2)(1﹣5%)×
(1﹣15%)=95%×
85%=80.75%,(1﹣x)2=(1﹣10%)2=81%.
∵80.75%<81%,∴房产销售经理的方案对购房者更优惠.
5.机械加工需用油进行润滑以减小摩擦,某企业加工一台设备润滑用油量为90kg,用油的重复利用率为60%,按此计算,加工一台设备的实际耗油量为36kg,为了倡导低碳,减少油耗,该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关.
(1)甲车间通过技术革新后,加工一台设备润滑油用油量下降到70kg,用油的重复利用率仍然为60%,问甲车间技术革新后,加工一台设备的实际油耗量是多少千克?
(2)乙车间通过技术革新后,不仅降低了润滑油用油量,同时也提高了用油的重复利用率,并且发现在技术革新前的基础上,润滑用油量每减少1kg,用油的重复利用率将增加1.6%,例如润滑用油量为89kg时,用油的重复利用率为61.6%.
①润滑用油量为80kg,用油量的重复利用率为多少?
②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg,问加工一台设备的润滑用油量是多少千克?
用油的重复利用率是多少?
(1)28
(2)①76%②75,84%
(1)直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg,用油的重复利用率仍然为60%,进而得出答案;
(2)①利用润滑用油量每减少1kg,用油的重复利用率将增加1.6%,进而求出答案;
②首先表示出用油的重复利用率,进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg,得出等式求出答案.
(1)根据题意可得:
70×
(1﹣60%)=28(kg);
(2)①60%+1.6%(90﹣80)=76%;
②设润滑用油量是x千克,则
x{1﹣[60%+1.6%(90﹣x)]}=12,
整理得:
x2﹣65x﹣750=0,
(x﹣75)(x+10)=0,
x1=75,x2=﹣10(舍去),
60%+1.6%(90﹣x)=84%,
设备的润滑用油量是75千克,用油的重复利用率是84%.
考点:
一元二次方程的应用
6.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0.
(1)当a=﹣11时,解这个方程;
(2)若这个方程有两个实数根x1,x2,求a的取值范围;
(3)若方程两个实数根x1,x2满足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,求a的值.
(1)
(2)(3)-4
分析:
(1)根据一元二次方程的解法即可求出答案;
(2)根据判别式即可求出a的范围;
(3)根据根与系数的关系即可求出答案.
详解:
(1)把a=﹣11代入方程,得x2﹣x﹣12=0,(x+3)(x﹣4)=0,x+3=0或x﹣4=0,∴x1=﹣3,x2=4;
(2)∵方程有两个实数根,∴△≥0,即(﹣1)2﹣4×
(a﹣1)≥0,解得;
(3)∵是方程的两个实数根,.
∵[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,∴,把代入,得:
[2+a﹣1][2+a﹣1]=9,即(1+a)2=9,解得:
a=﹣4,a=2(舍去),所以a的值为﹣4.
本题考查了一元二次方程,解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系.
7.解方程:
.
【答案】x=或x=1
设,则原方程变形为y2-2y-3=0,解这个一元二次方程求y,再求x.
设,则原方程变形为y2-2y-3=0.
解这个方程,得y1=-1,y2=3,
∴或.
解得x=或x=1.
经检验:
x=或x=1都是原方程的解.
∴原方程的解是x=或x=1.
考查了还原法解分式方程,用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法,根据方程特点设出相应未知数,解方程能够使问题简单化,注意求出方程解后要验根.
8.已知为正整数,二次方程的两根为,求下式的值:
由韦达定理,有,.于是,对正整数,有
原式=
9.小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯,成本为30元/只,每天销售量y(只)与销售单价x(元)之间的关系式为y=﹣10x+700(40≤x≤55),求当销售单价为多少元时,每天获得的利润最大?
最大利润是多少元?
【答案】当销售单价为50元时,每天获得的利润最大,利润的最大值为4000元
表示出一件的利润为(x﹣30),根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.
设每天获得的利润为w元,
根据题意得:
w=(x﹣30)y=(x﹣30)(﹣10x+700)=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10(x﹣50)2+4000.
∵a=﹣10<0,
∴当x=50时,w取最大值,最大值为4000.
当销售单价为50元时,每天获得的利润最大,利润的最大值为4000元.
本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.
10.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使得x1·
x2-x12-x22≥0成立?
若存在,请求出k的值;
若不存在,请说明理由.
(1)当k≤时,原方程有两个实数根
(2)不存在实数k,使得x1·
x2-x12-x22≥0成立
(1)根据一元二次方程根的判别式列出不等式,解之即可;
(2)本题利用韦达定理解决.
(1),解得
(2)由,
由根与系数的关系可得:
代入得:
,
化简得:
得.
由于的取值范围为,
故不存在k使.
11.工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)求长方体底面面积为12dm2时,裁掉的正方形边长多大?
【答案】裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dm2.
设裁掉的正方形的边长为xdm,则制作无
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