高考文科数学专题演练十二导数与函数文档格式.docx
- 文档编号:14212101
- 上传时间:2022-10-20
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:139.54KB
高考文科数学专题演练十二导数与函数文档格式.docx
《高考文科数学专题演练十二导数与函数文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考文科数学专题演练十二导数与函数文档格式.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
,∵x1x2=1,∴x2>
e.
由于h(0)=1,故只需h()<
0即可,即-(2+a)+1<
解得a>
e+-2.
2.(2016·
新疆师范大学附中月考)已知函数f(x)=,其中a>
0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若直线x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线,求实数a的值;
(3)设g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在区间[1,e]上的最大值.(其中e为自然对数的底数)
解析
(1)f′(x)=(x≠0),在区间(-∞,0)和(2,+∞)上,f′(x)<
0;
在区间(0,2)上,f′(x)>
所以f(x)的单调递减区间是(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间是(0,2).
(2)设切点坐标为(x0,y0),则
解得x0=1,a=1.
(3)g(x)=xlnx-a(x-1),则g'
(x)=lnx+1-a.
令g′(x)=0,得x=ea-1.
当ea-1≤1,即0<
a≤1时,在区间[1,e]上,g(x)为递增函数,
所以g(x)最大值g(e)=e+a-ae.
当ea-1≥e,即a≥2时,在区间[1,e]上,g(x)为递减函数,
所以g(x)最大值为g
(1)=0.
当1<
ea-1<
e,即1<
a<
2时,g(x)的最大值为g(e)和g
(1)中较大者.
g(e)-g
(1)=a+e-ae>
0,解得a<
.
所以当1<
时,g(x)最大值为g(e)=e+a-ae,
≤a<
2时,g(x)最大值为g
(1)=0.
综上所述,当0<
时,g(x)的最大值为g(e)=e+a-ae,
当a≥时,g(x)的最大值为g
(1)=0.
3.已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<
(1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.
解析
(1)当a=-4时,f(x)=(4x2-16x+16),
f′(x)=(x>
0).
令f′(x)>
0,即(5x-2)(x-2)>
∴0<
x<
或x>
2.
∴f(x)的单调递增区间为(0,)和(2,+∞).
(2)∵f′(x)=,a<
令f′(x)=0,得x=-或x=-.
当0<
-或x>
-时,f′(x)>
当-<
-时,f′(x)<
∴f(x)在(0,-)和(-,+∞)上单调递增;
在(-,-)上单调递减.
易知f(x)=(2x+a)2×
≥0且f(-)=0.
①当-≤1时,即-2≤a<
0,f(x)在[1,4]上的最小值为f
(1).f
(1)=4+4a+a2=8,解得a=±
2-2,不符合题意.
②当1<
-≤4,即-8≤a<
-2时,
f(x)在(1,-)上单调递减,在(-,4)上单调递增.
∴f(x)min=f(-),而f(-)=0,不符合题意.
③当->
4,即a<
-8时,
f(x)在[1,4]上取最小值为f
(1)或f(4).
而由①知f
(1)=8时不符合题意.
∴f(4)=8,即2(64+16a+a2)=8,
解得a=-10或a=-6(舍去).
综上所述,a=-10.
4.已知a∈R,函数f(x)=+lnx-1.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值.
解析
(1)当a=1时,f(x)=+lnx-1,x∈(0,+∞),
所以f′(x)=-+=,x∈(0,+∞).
因此f′
(2)=.
即曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线斜率为.
又f
(2)=ln2-,所以曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为y-(ln2-)=(x-2),即x-4y+4ln2-4=0.
(2)因为f(x)=+lnx-1,
所以f′(x)=-+=.
令f′(x)=0,得x=a.
①若a≤0,则f′(x)>
0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值.
②若0<
e,则当x∈(0,a)时,f′(x)<
0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减,
当x∈(a,e]时,f′(x)>
0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增,
所以当x=a时,函数f(x)取得最小值lna.
③若a≥e,则当x∈(0,e]时,f′(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,
所以当x=e时,函数f(x)取得最小值.
综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值;
e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为lna;
当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为.
5.(2016·
衡水调研)已知函数f(x)=(x3-6x2+3x+t)ex,t∈R.
(1)若函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与y=4x+3平行,求t的值;
(2)若函数y=f(x)有三个不同的极值点,求t的取值范围;
(3)若存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式f(x)≤x恒成立,求正整数m的最大值.
解析
(1)因为函数f(x)=(x3-6x2+3x+t)ex,
所以f′(x)=(x3-3x2-9x+3+t)ex.
函数f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为f′(0)=3+t,
由题意可得3+t=4,解得t=1.
(2)f′(x)=(x3-3x2-9x+3+t)ex,
令g(x)=x3-3x2-9x+3+t,则方程g(x)=0有三个不同的根.
又g′(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3),
令g′(x)=0,得x=-1或x=3.
且g(x)在区间(-∞,-1),(3,+∞)上单调递增,在区间(-1,3)上单调递减,故原题等价于即有解得-8<
t<
24.
(3)不等式f(x)≤x,即(x3-6x2+3x+t)ex≤x,
即t≤xe-x-x3+6x2-3x.
转化为存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立,
即不等式0≤xe-x-x3+6x2-3x在x∈(1,m]上恒成立.
设φ(x)=e-x-x2+6x-3,则φ′(x)=-e-x-2x+6.
设r(x)=φ′(x)=-e-x-2x+6,则r′(x)=e-x-2.
因为1≤x≤m,有r′(x)<
故r(x)在区间[1,m]上是减函数.
又r
(1)=4-e-1>
0,r
(2)=2-e-2>
0,r(3)=-e-3<
故存在x0∈(2,3),使得r(x0)=φ′(x0)=0.
当1≤x<
x0时,有φ′(x)>
当x>
x0时,有φ′(x)<
从而φ(x)在区间[1,x0]上单调递增,在区间[x0,+∞)上单调递减,
又φ
(1)=e-1+2>
0,φ
(2)=e-2+5>
0,φ(3)=e-3+6>
0,φ(4)=e-4+5>
0,φ(5)=e-5+2>
0,φ(6)=e-6-3<
所以当1≤x≤5时,恒有φ(x)>
当x≥6时,恒有φ(x)<
故符合题意的正整数m的最大值为5.
6.已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数).
(1)求f(x)的最小值;
(2)若对于任意的x∈[0,2],不等式f(x)>
ax恒成立,求实数a的取值范围.
解析
(1)f(x)的导函数f′(x)=ex-1,
0,解得x>
令f′(x)<
0,解得x<
从而f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
所以当x=0时,f(x)取得最小值1.
(2)设不等式f(x)>
ax的解集为P,则{x|0≤x≤2}⊆P,
即对于任意x∈[0,2],不等式f(x)>
ax恒成立.
由于f(x)>
ax,得(a+1)x<
ex.
当x=0时,上述不等式显然成立,故只需考虑x∈(0,2]的情况.将(a+1)x<
ex变形为a<
-1.
令g(x)=-1,则g(x)的导函数g′(x)=.
令g′(x)>
1;
令g′(x)<
1.
从而g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增.
所以当x=1时,g(x)取得最小值e-1,从而实数a的取值范围是(-∞,e-1).
7.(2016·
湖南衡阳联考)已知函数f(x)=x3-ax2-3x.
(1)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=-是f(x)的极值点,求f(x)在[1,a]上的最大值;
(3)在
(2)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)=bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点?
若存在,请求出实数b的取值范围;
若不存在,试说明理由.
解析
(1)f′(x)=3x2-2ax-3.∵f(x)在[1,+∞)上单调递增,
∴f′(x)在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0,即3x2-2ax-3≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,则必有≤1,且f′
(1)=-2a≥0,∴a≤0.
(2)f′(-)=0,即+a-3=0,∴a=4.
∴f(x)=x3-4x2-3x.
令f′(x)=3x2-8x-3=0,解得x1=-,x2=3.
x,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
1
(1,3)
3
(3,4)
4
f′(x)
-
+
f(x)
-6
-18
-12
∴f(x)在[1,4]上的最大值为f
(1)=-6.
(3)函数g(x)=bx的图像与f(x)的图像恰有3个交点,即x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根,∴方程x3-4x2-3x-bx=0恰有3个不等实根.
其中x=0是其中一个根,∴方程x2-4x-3-b=0有两个不等于零的不等实根.
∴∴b>
-7且b≠-3.
8.(2016·
山东青岛检测)已知函数f(x)=ax2+1(a>
0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;
(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.
解析
(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b.
因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f
(1)=g
(1),且f′
(1)=g′
(1).
即a+1=1+b,且2a=3+b.解得a=3,b=3.
(2)设h(x)=f(x)+g(x).当b=a2时,h(x)=x3+ax2+a2x+1,h′(x)=3x2+2ax+a2.
令h′(x)=0,得x1=-,x2=-.
a>
0时,h(x)与h′(x)的变化情况如下:
(-∞,-)
(-,-)
h′(x)
h(x)
极大值
(-,+∞)
h(x
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考 文科 数学 专题 演练 十二 导数 函数