圆形磁场中的几个典型问题分析.docx
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圆形磁场中的几个典型问题分析
圆形磁场中的几个典型问题
许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手,分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”体类型,抓住关键要素,问题就能迎刃而解,下面举例说明.
一、最值问题的解题关键一一抓弦长
1.求最长时间的问题
例1真空中半径为R=3X10m的圆形区域内,有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场,方向如图1所示一带正电的粒子以初速度vo=106m/s从磁场边界上直径ab一端a点处射入磁场,已知该粒子比荷为q/m=108c/kg,不计粒子重力,若要使粒子飞离磁场时偏转角最大,其入射时粒子初速度的方向应如何?
(以V。
与
Oa的夹角二表示)最长运动时间多长?
小结:
本题涉及的是一个动态问题,即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动,但因其初速度方向变化,使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化,并且弦长的变化一定对
应速度偏转角的变化,同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化,因而当弦长
为圆形磁场直径时,偏转角最大.
2.求最小面积的问题
例2一带电质点的质量为m,电量为q,以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射人如图3所示第一象限的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出,可在适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强
磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内,试求此圆形磁场区域的最小面积,重力忽略不计.
小结:
这是一个需要逆向思维的问题,而且同时考查了空间想象能力,即已知粒子运动
轨迹求所加圆形磁场的位置.解决此类问题时,要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动,所以粒子运动的1/4圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终
点必须是磁场边界上的点,然后再考虑磁场的最小半径.
上述两类“最值”问题,解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长.
二、汇聚发散问题的解题关键一一抓半径
当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时,存在两条特殊规律;
规律一:
带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场,如杲圆形磁场的半径与圆轨迹
半径相等,则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行,如甲图所示。
规律二:
平行射入圆形有界磁场的相同带电粒
子,如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等,则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出,并且出射点的切线与入射速度方向平行,如乙图所示。
例3如图5所示,x轴正方向水平向右,y轴正方向竖直向
上.在半径为R的圆形区域内加一与xoy平面垂直的匀强磁场.在坐标原点0处放置一带电微粒发射装置,它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q(q>0)且初速为v°的带电粒子,不计重力.调节坐标原点0处的带电微粒发射装置,使其在xoy平
面内不断地以相同速率v0沿不同方向将这种带电微粒射入x轴上
方,现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向射出,则带电
微粒的速度必须满足什么条件?
小结:
研究粒子在圆形磁场中的运动时,要抓住圆形磁场的半径和圆周运动的半径,建
立二者之间的关系,再根据动力学规律运动规律求解问题.
3.如图甲所示,x轴正方向水平向右,y轴正方向竖直向上。
在xoy平面内有与y轴平行
的匀强电场,在半径为R的圆形区域内加有与xoy平面垂直的匀强磁场。
在坐标原点0处
放置一带电微粒发射装置,它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q(0》°)和
(1)当带电微粒发射装置连续不断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时,这些带电微粒将
沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场,并继续沿x轴正方向运动。
求电场强度和磁感应
强度的大小和方向。
(2)调节坐标原点处的带电微粒发射装置,使其在xoy平面内不断地以相同速率vO沿不同
方向将这种带电微粒射入第1象限,如图乙所示。
现要求这些带电微粒最终都能平行于x
轴正方向运动,则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下,应如何改变匀强
磁场的分布区域?
并求出符合条件的磁场区域的最小面积。
答案
(1)(8^)由题目中“带电粒子从坐标原点0处沿y轴正方冋逬入腿场后+最绛沿圆形磁场区域的水平直径离开確场并堆爨沿r轴正方同运討“可知*带电徹粒所赍重力与电场力平衡。
设电场强度大小为匚由平衡条件得,
啊二我二誉=竺电场方向沿*抽正方向
带电微粒进人磁场后,做匀速圆周运动,且圆运动半径r=臨*
设匀吨眄的瑋感应程厦大屮为B*由牛極第二定存存,
磁场方冋垂亘干妖面向外
⑵(&管)设由带电微越主射黄負射入弟I集岷的带电徽赴的制速度方向与x轴威夬甬6
则3满足尺恥巴由于带电樹:
粒最集搐沿X轴正方向运动+
2
故B应垂負于X妙平西同外"带电抽粗在磁场内就半径为氏=
运动"
由干制电擁粒的入射方问下同.若磁场充満旣面.
它『1所对匯的运动的轨迹如图所示.
技聲送垄帝电嗷粒炷蹤场傭特后曲戏轴正方问运动"
由图可知*它力爵须胎至D点佯團运罰的各圆的最高自飞离確场*这祥应场边畀上P盘的坐标P0亦应淸足方程*
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xao-虑尸=氏“与圆 *旳 7Z煨部歼(: 阳中阴壽部好九 由几何我系*ni£JL求得符台踊f牛旳K1均的最寸、ffll枳再’ 三、边界交点问题的解题关键一抓轨迹方程 例4如图7所示,在xoy平面内x>0区域中,有一半圆形匀强磁场区域,圆心为0,半径为R=0.10m,磁感应强度大小为B=0.5T,磁场方向垂直xoy平面向里.有一线状粒子源放在y轴左 侧(图中未画出),并不断沿平行于x轴正方向释放出电荷量为 -196 q=+1.6x10C,初速度vo=1.6x10m/s的粒子,粒子的质量为 26 m=1.0x10-kg,不考虑粒子间的相互作用及粒子重力,求: 从y轴 任意位置(0,y)入射的粒子离开磁场时的坐标. 点评: 带电粒子在磁场中的运动是最能反映抽象思维与数学方法 小结: 对于周期性问题,因为粒子运动轨迹和磁场边界都是圆,所以要充分利用圆的对 称性及圆心角的几何关系,寻找运动轨迹的对称关系和周期性. 五、磁场问题的规律 前面分析的六个典型例题,其物理情景各异,繁简不同,但解题思路和方法却有以下四个共同点. (1)物理模型相同即带电粒子在匀强磁场中均做匀速圆周运动. (2)物理规律相同即洛伦兹力提供运动的向心力,通常都由动力学规律列方程求解. (3)数学规律相同即运用几何知识求圆心角、弧长、半径等物理量. (4)解题关键相同: 一是由题意画出正确轨迹;二是寻找边界圆弧和轨迹圆弧的对应 圆心角关系;三是确定半径和周期,构建合适的三角形或平行四边形,再运用解析几何知识 求解圆的弦长、弧长、圆心角等,最后转化到题目中需求解的问题. 【同步练习】 1.如图所示,在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场,MN是一竖直放置的感光板.从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大 量的带正电,电荷量为q,质量为m,速度为v的粒子,不考虑粒子间的相互作用力,关于 这些粒子的运动以下说法正确的是()D A.只要对着圆心入射,出射后均可垂直打在MN上 B•对着圆心入射的粒子,其出射方向的反向延长线不一定过圆心 C.对着圆心入射的粒子,速度越大在磁场中通过的弧长越长,时间也越长 D.只要速度满足v^■qBR,沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上 m D.从ad边射人的粒子,出射点全部通过b点 (1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径 由图可知, T2^n q=—= (2)粒子从O至a做匀速圆周运动的时间'W从a飞出磁场后做匀速直线运动 **+於®fT< a盲匸心 2R 3mv0 故b点的坐标为(「,0) 42'饥仔 5.如图所示,在坐标系xoy内有一半径为a的圆形区域,圆心坐标为Oi(a,0),圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场,在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内,有一沿x轴负方向的匀强电场,场强大小为E,—质量为m、电荷量为+q(q>0)的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入,当入射速度方向沿x轴方向时,粒子恰好从Oi点正上方的A点射出磁场,不计粒子重力,求: (1)磁感应强度B的大小; (2)粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角; (3)若将电场方向变为沿y轴负方向,电场强度大小不变,粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角9=30°射入第一象限,求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间to 解得 yi (2)粒子从A点向上在电场中做匀减运动,设在电场中减速的距离为 1 -说X]=0/wv 曲 y1= 12& 所以在电场中最高点的坐标为( 2Eq (3)粒子在磁场中做圆运动的周期 2na v P点的出 粒子从磁场中的P点射出,因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等,OO1PO2构成菱形,故粒子从 射方向与y轴平行,粒子由O到P所对应的圆心角为01=60 由几何知识可知,粒子由P点到x轴的距离S=acos0 粒子在电场中做匀变速运动,在电场中运动的时间 到Q的偏向角为02=120 粒子先后在磁场中运动的总时间 粒子在场区之间做匀速运动的时间 解得粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间 (2+开一寸5)口*2mvvqE 【答案】 go; (1) (2) a-v a-v [Ama '; a 一卫+ (3) 轨迹如图。 【解析】 (1) 由题意可得粒子在磁场中的轨迹半径为 r=a(1分) (2分) (2)所有粒子在电场中做类平抛运动(1分) 从O点射出的沿x轴正向的粒子打在屏上最低点 从O点沿y轴正向射出的粒子打在屏上最高点 (3)粒子在磁场中做匀速圆周运动,出磁场时: x=r-rcos60°=- #(2分) Av= ”2qE (2分) (1分) 所以在电场中最远坐标为 因为粒子的轨迹半径与磁场的边界半径相等,粒子返回磁场后射入点和射出点与轨 迹圆心及磁场的边界圆心的连线构成棱形。 所以最后射出磁场的坐标为(2a,0)(2 分) ⑷可以加一个匀强磁场或者两个方向不同的匀强电场方向如图, 大小与已知条件相同(2分) 轨迹如图所示(2分) E 'J /J F Q y Af 00 r=2人 C li「■ / 1 i4 1 6.如图所示的直角坐标系中,从直线x=-2lo到y轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场,其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向,x轴下方的电场方向沿y轴正方向。 在电场左边界从A(-2lo, -Io)点到C(-2lo,0)点区域内,连续分布着电量为+q、质量为m的粒子。 从某时刻起,A点到C点 间的粒子依次连续以相同速度vo沿x轴正方向射入电场。 从A点射入的粒子恰好
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- 圆形 磁场 中的 几个 典型 问题 分析