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4.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为
A.94e2
B.2e2
C.e2
D.e22
5.已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是( )
6.设y=8x2-lnx,则此函数在区间(0,14)和(12,1)内分别
A.单调递增,单调递减
B.单调递增,单调递增
C.单调递减,单调递增
D.单调递减,单调递减
7.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是
①f(x)>0的解集是{x|0<x<2};
②f(-2)是极小值,f
(2)是极大值;
③f(x)没有最小值,也没有最大值.
A.①③
B.①②③C.②
D.①②
8.已知f(x)=-x3-x,x∈[m,n],且f(m)•f(n)<0,则方程f(x)=0在区间[m,n]上( )
A.至少有三个实根
B.至少有两个实根C.有且只有一个实根
D.无实根
9.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是( )
A.-1<a<2
B.-3<a<6C.a<-3或a>6
D.a<-1或a>2
10.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,其高应为
A.2033cm
B.100cmC.20cm
D.203cm
11.(2010•河南省实验中学)若函数f(x)=(2-m)xx2+m的图象如图所示,则m的范围为
A.(-∞,-1)
B.(-1,2)C.(1,2)
D.(0,2)
12.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1.f′(x)为f(x)的导函数,已知函数y=f′(x)的图象如图所示.若两正数a,b满足f(2a+b)<1,则b+2a+2的取值范围是
A.(13,12)B.(-∞,12)∪(3,+∞)C.(12,3)D.(-∞,-3)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在题中的横线上。
13.(2009•武汉模拟)函数y=xln(-x)-1的单调减区间是________.
14.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m=________.
15.(2009•南京一调)已知函数f(x)=ax-x4,x∈[12,1],A、B是其图象上不同的两点.若直线AB的斜率k总满足12≤k≤4,则实数a的值是________.
16.(2009•淮北模拟)已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)•(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17.(本小题满分10分)设a为大于0的常数,函数f(x)=x-ln(x+a).
(1)当a=34,求函数f(x)的极大值和极小值;
(2)若使函数f(x)为增函数,求a的取值范围.
18.(本小题满分12分)已知函数y=f(x)=lnxx.
(1)求函数y=f(x)的图象在x=1e处的切线方程;
(2)求y=f(x)的最大值;
(3)设实数a>0,求函数F(x)=af(x)在[a,2a]上的最小值.
19.(本小题满分12分)设a>0,函数f(x)=x-ax2+1+a.
(1)若f(x)在区间(0,1]上是增函数,求a的取值范围;
(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=1+ln(x+1)x.(x>0)
(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数?
证明你的结论;
(2)若当x>0时,f(x)>kx+1恒成立,求正整数k的最大值.
21.(2009•天津)(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线的斜率;
(2)当a≠23时,求函数f(x)的单调区间与极值.
命题意图:
本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法.
22.(2010•保定市高三摸底考试)(本小题满分12分)已知函数f(x)=lnxx+ax-1(a∈R)
(1)求函数f(x)的图象在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若f(x)≤0在区间(0,e2]上恒成立,求实数a的取值范围.
答案:
一、1答案:
A
解析:
对选项求导.(ln1-x)′=11-x(1-x)′=11-x•12(1-x)-12•(-1)=12(x-1).
2答案:
f′(x)=g′(x)+2x.
∵y=g(x)在点(1,g
(1))处的切线方程为y=2x+1,
∴g′
(1)=2,∴f′
(1)=g′
(1)+2×
1=2+2=4,
∴y=f(x)在点(1,f
(1))处切线斜率为4.
3答案:
D
y′=(xx-2)′=-2(x-2)2,
∴k=y′|x=1=-2.
l:
y+1=-2(x-1),则y=-2x+1.
4答案:
∵y′=ex,∴y=ex在点(2,e2)的导数为e2.
∴y=ex在点(2,e2)的切线方程为y=e2x-e2.
y=e2x-e2与x轴、y轴的交点分别为(1,0)和(0,-e2),∴S=12×
1×
e2=e22.
5答案:
由题意知函数f(x),g(x)都为增函数,当x<x0时,由图象知f′(x)>g′(x),即f(x)的增长速度大于g(x)的增长速度;
当x>x0时,f′(x)<g′(x),g(x)的增长速度大于f(x)的增长速度,数形结合,
6答案:
C
y′=16x-1x.
当x∈(0,14)时,y′<0,y=8x2-lnx为减函数;
当x∈(12,1)时,y′>0,y=8x2-lnx为增函数.
7答案:
由f(x)>0⇒(2x-x2)ex>0⇒2x-x2>0⇒0<x<2,故①正确;
f′(x)=ex(2-x2),由f′(x)=0得x=±
2,
由f′(x)<0得x>2或x<-2,
由f′(x)>0得-2<x<2,
∴f(x)的单调减区间为(-∞,-2),(2,+∞).
单调增区间为(-2,2).
∴f(x)的极大值为f
(2),极小值为f(-2),故②正确.
∵x<-2时,f(x)<0恒成立.
∴f(x)无最小值,但有最大值f
(2).
∴③不正确.
8答案:
9答案:
由于f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,有f′(x)=3x2+2ax+(a+6).
若f(x)有极大值和极小值,
则Δ=4a2-12(a+6)>0,
从而有a>6或a<-3
10答案:
设高为h,则半径为202-h2,
体积V=13πr2h=13π(202-h2)•h
=-13πh3+2023πh(0<h<20),
V′=-πh2+2023π.
令V′=0,得h=2033或h=-2033(舍去),
即当h=2033时,V为最大值.
11答案:
f′(x)=(x2-m)(m-2)(x2+m)2=(x-m)(x+m)(m-2)(x2+m)2
由图知m-2<0,且m>0,故0<m<2,
又m>1,∴m>1,因此1<m<2
12答案:
由y=f′(x)的图象知,当x<0时,f′(x)<0,函数f(x)是减函数;
当x>0时,f′(x)>0,函数f(x)是增函数;
两正数a,b满足f(2a+b)<1,f(4)=1,点(a,b)的区域为图中的阴影部分(不包括边界),b+2a+2的意义为阴影部分的点与点A(-2,-2)连线的斜率,直线AB、AC的斜率分别为12、3,则b+2a+2的取值范围是(12,3)
二、13答案:
(-1e,0)
14答案:
32
令f′(x)=3x2-12=0,得x=-2或x=2,
列表得:
x
-3
(-3,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,3)
3f′(x)
+
0
-
f(x)
17
极值24
极值-8
-1
可知M=24,m=-8,∴M-m=32.
15答案:
92
f′(x)=a-4x3,x∈[12,1],由题意得12≤a-4x3≤4,即4x3+12≤a≤4x3+4在x∈[12,1]上恒成立,求得92≤a≤92,则实数a的值是92.
16答案:
(-1,0)
结合二次函数图象知,当a>0或a<-1时,在x=a处取得极小值,
当-1<a<0时,在x=a处取得极大值,故a∈(-1,0).
三、17解析:
(1)当a=34时,f′(x)=12x-1x+34,
令f′(x)=0,则x-2x+34=0,∴x=94或14,
当x∈[0,14]时,f′(x)>
0,当x∈(14,94),f′(x)<
0,
当x∈(94,+∞)时,f′(x)>
∴f(x)极大值=f(14)=12,f(x)极小值=f(94)=32-ln3.
(2)f′(x)=12x-1x+a,若f(x)为增函数,则当x∈[0,+∞)时,f′(x)≥0恒成立,
∴12x≥1x+a,即x+a≥2x,
即a≥2x-x=-(x-1)2+1恒成立,
∴a≥1.
18解析:
(1)∵f(x)定义域为(0,+∞),∴f′(x)=1-lnxx2
∵f(1e)=-e,又∵k=f′(1e)=2e2,
∴函数y=f(x)的在x=1e处的切线方程为:
y+e=2e2(x-1e),即y=2e2x-3e.
(2)令f′(x)=0得x=e.
∵当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)在(0,e)上为增函数,
当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,则在(e,+∞)上为减函数,
∴fmax(x)=f(e)=1e.
(3)∵a>0,由
(2)知:
F(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.
∴F(x)在[a,2a]上的最小值f(x)min=min{F(a),F(2a)},
∵F(a)-F(2a)=12lna2,
∴当0<a≤2时,F(a)-F(2a)≤0,fmin(x)=F(a)=lna.
当a>2时,F(a)-F(2a)>0,f(x)min=f(2a)=12ln2a.
19解析:
(1)对函数f(x)求导数,得f′(x)=1-axx2+1.
要使f(x)在区间(0,1]上是增函数,又要f′(x)=1-axx2+1≥0在(0,1]上恒成立,
即a≤x2+1x=1+1x2在(0,1]上恒成立.
因为1+1x2在(0,1]上单调递减,
所以1+1x2在(0,1]上的最小值是2.
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