武汉大学数值分析Word格式文档下载.doc
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并估计误差。
(10分)
四.试用的牛顿-科特斯求积公式计算定积分。
五.用Newton法求的近似解。
六.试用Doolittle分解法求解方程组:
(10分)
七.请写出雅可比迭代法求解线性方程组的迭代格式,并判断其是否收敛?
八.就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。
《数值分析》(A)卷标准答案
(2009-2010-1)
一.填空题(每小题3分,共12分)
1.;
2.7;
3.3,8;
4.。
1.解:
系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。
(4分)
对于对称正定阵A,从可知对任意k£
i有。
即L的元素不会增大,误差可控,不需选主元,所以稳定。
(4分)
2.解:
(1)若,则称为函数的不动点。
(2分)
(2)必须满足下列三个条件,才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于的不动点:
1)是在其定义域内是连续函数;
(2分)
2)的值域是定义域的子集;
(2分)
3)在其定义域内满足李普希兹条件。
(2分)
3.解:
参照幂法求解主特征值的流程(8分)
步1:
输入矩阵A,初始向量v0,误差限e,最大迭代次数N;
步2:
置k:
=1,μ:
=0,u0=v0/||v0||∞;
步3:
计算vk=Auk-1;
步4:
计算
并置mk:
=[vk]r,uk:
=vk/mk;
步5:
若|mk-μ|<
e,计算,输出mk,uk;
否则,转6;
步6:
若k<
N,置k:
=k+1,μ:
=mk,转3;
否则输出计算失败
信息,停止
三.解:
(1)利用插值法加待定系数法:
设满足则(3分)
再设(3分)
(1分)
(1分)
(2)(2分)
四.解:
应用梯形公式得(2分)
(1分)
应用辛普森公式得:
(2分)
(1分)
应用科特斯公式得:
(2分)
(2分)
五.解:
由零点定理,在内有根。
(2分)
由牛顿迭代格式(4分)
取得,
(3分)
故取(1分)
六.解:
对系数矩阵做三角分解:
(2分)
(4分)
若,则;
(2分)
若,则(2分)
七.解:
(1)对于方程组,雅可比方法的迭代矩阵为
(2分)
其特征多项式为,且特征值为
(2分)
故有,因而雅可比迭代法不收敛。
(1分)
(2)对于方程组,Gauss-Seidel迭代法迭代矩阵为
(2分)
其特征值为(2分)
故有,因而雅可比迭代法收敛。
(1分)
八.证明题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)
1.证:
该问题的精确解为(2分)
欧拉公式为(2分)
对任意固定的,
有,(2分)
则(1分)
2.证:
牛顿迭代格式为(3分)
因迭代函数为而又,(2分)
则
。
故此迭代格式是线性收敛的。
(2分)
注:
1、教师命题时题目之间不留空白;
2、考生不得在试题纸上答题,教师只批阅答题册正面部分,若考生须在试题图上作解答,请另附该试题图。
3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。
(第6页)
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- 武汉大学 数值 分析