奥数72乘法原理文档格式.docx
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我们看上面这个示意图,老师必须先的到长宁,然后再到黄埔.这几个环节是必不可少的,老师是一定要先到长宁上完课,才能去黄埔的.在没学乘法原理之前,我们可以通过一条一条的数,把线路找出来,显而易见一共是10条路线.但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具,并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具,那一共有多少条线路呢?
这样数,恐怕是要耗费很多的时间了.这个时候我们的乘法原理就派上上用场了.
二、乘法原理的定义
完成一件事,这个事情可以分成n个必不可少的步骤(比如说老师从家到黄埔,必须要先到长宁,那么一共可以分成两个必不可少的步骤,一是从家到长宁,二是从长宁到黄埔),第1步有A种不同的方法,第二步有B种不同的方法,……,第n步有N种不同的方法.那么完成这件事情一共有A×
B×
……×
N种不同的方法.
结合上个例子,老师要完成从家到黄埔的这么一件事,需要2个步骤,第1步是从家到长宁,一共5种选择;
第2步从长宁到黄埔,一共2种选择;
那么老师从家到黄埔一共有5×
2个可选择的路线了,即10条.
三、乘法原理解题三部曲
1、完成一件事分N个必要步骤;
2、每步找种数(每步的情况都不能单独完成该件事);
3、步步相乘
四、乘法原理的考题类型
1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题;
2、字的染色问题——比如说要3个字,然后有5种颜色可以给每个字然后,问3个字有多少种染色的方法;
3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图,比如中国每个省的染色情况,给你几种颜色,问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法;
4、排队问题——比如说6个同学,排成一个队伍,有多少种排法;
5、数码问题——就是对一些数字的排列,比如说给你几个数字,然后排个几为数的偶数,有多少种排法.
例题精讲
模块一、简单乘法原理的应用
【例1】邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条,那么邮递员从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法?
(2级)
1【解析】把可能出现的情况全部考虑进去.
第一步 第二步
由分析知邮递员由A村去B村是第一步,再由B村去C村为第二步,完成第一步有3种方法,而每种方法的第二步又有2种方法.根据乘法原理,从A村经B村去C村,共有3×
2=6种方法.
【巩固】如下图所示,从A地去B地有5种走法,从B地去C地有3种走法,那么李明从A地经B地去C地有多少种不同的走法?
【解析】从A地经B地去C地分为两步,由A地去B地是第一步,再由B地去C地为第二步,完成第一步有5种方法,而每种方法的第二步又有3种方法.根据乘法原理,从A地经B地去C地,共有5×
3=15种方法.
【例2】如下图中,小虎要从家沿着线段走到学校,要求任何地点不得重复经过.问:
他最多有几种不同走法?
【解析】从家到中间结点一共有2种走法,从中间结点到学校一共有3种走法,根据乘法原理,一共有3×
2=6种走法.
【巩固】在下图中,一只甲虫要从点沿着线段爬到点,要求任何点不得重复经过.问:
这只甲虫最多有几种不同走法?
【解析】甲虫要从A点沿着线段爬到B点,需要经过两步,第一步是从A点到C点,一共有3种走法;
第二步是从C点到B点,一共也有3种走法,根据乘法原理一共有3×
3=9种走法.
【例3】在右图中,一只甲虫要从点沿着线段爬到点,要求任何点不得重复经过.问:
(4级)
【解析】从A点沿着线段爬到B点需要分成三步进行,第一步,从A点到C点,一共有3种走法;
第二步,从C点到D点,有1种走法;
第三步,从D点到B点,一共也有3种走法.根据乘法原理,一共有3×
1×
【巩固】在右图中,一只蚂蚁要从点沿着线段爬到点,要求任何点不得重复经过.问:
这只蚂蚁最多有几种不同走法?
【解析】解这道题时千万不要受铺垫题目的影响,第一步,A点到C点的走法是3种;
但第三步,从D点到B点的走法并不是3种,由D出去有2条路选择,到下一岔路口又有2条路选择,所总共有2×
2=4(种)走法,根据乘法原理,这只蚂蚁最多有(种)不同走法.
【巩固】在右图中,一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点,要求任何点不得重复经过.问:
第二步,从点到点,一共也有3种走法;
第三步,从点到点,一共也有3种走法.根据乘法原理,一共有种走法.
【巩固】在右图中,一只甲虫要从点沿着线段爬到点,要求任何点不得重复经过.问:
这只甲虫最多有几种不同走法?
(6级)
【解析】解这道题时千万不要受铺垫题目的影响,点到点的走法不是3种,而是4种,点到点的走法也是4种,根据乘法原理,这只甲虫最多有种走法.
【例4】按下表给出的词造句,每句必须包括一个人、一个交通工具,以及一个目的地,请问可以造出多少个不同的句子?
1【解析】1、造一个句子必须包含三个部分,即人、交通工具、目的地.
2、那么这个句子可以分成三个部分;
第一个步——选择人物,有三种选择;
第二步——选择交通工具,有三种选择;
第三个步——选择目的地,有三种选择.
3、根据乘法原理:
3×
3=27.
【例5】题库中有三种类型的题目,数量分别为30道、40道和45道,每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷.问:
由该题库共可组成多少种不同的试卷?
1【解析】从该题库每一类试卷中分三步各选一道题,每一步分别有30、40、45种选法.根据乘法原理,一共有30×
40×
45=54000种不同的选法,所以一共可以组成54000种不同试卷.
【巩固】文艺活动小组有3名男生,4名女生,从男、女生中各选1人做领唱,有多少种选法?
【解析】完成这件事需要两步:
一步是从女生中选1人,有4种选法;
另一步是从男生中选1人,有3种选法.因此,由乘法原理,选出1男1女的方法有种.
还可以用乘法的意义来理解这道题:
男生有3种选法,每选定1个男生,再选1个女生,对应着4种选法,即3个男生,每个男生对应4种选女生的方法,因此选出1男1女共有种方法.
【巩固】小丸子有许多套服装,帽子的数量为5顶、上衣有10件,裤子有8条,还有皮鞋6双,每次出行要从几种服装中各取一个搭配.问:
共可组成多少种不同的搭配(帽子可以选择戴与不戴)?
【解析】小丸子搭配服装分四步.第一步选帽子,由于不戴帽子可以看作戴了顶空帽子,所以有种选法;
第二步选上衣,有10种选法;
第三步选裤子,有8种选法;
第四步选皮鞋,有6种选法.根据乘法原理,四种服装中各取一个搭配.一共有种选法,所以一共可以组成2880种不同搭配.
【例6】要从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体,有多少种不同的评选结果?
1【解析】第一步选出学习先进集体一共有6种方法,第二步选出体育先进集体一共有6种方法,第三步选出卫生先进集体一共有6种评选方法,根据乘法原理,一共有种评选方法.
【巩固】从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体,如果要求同一个班级只能得到一个先进集体,那么一共有多少种评选方法?
2【解析】第一步选出学习先进集体共有6种方法,第二步从剩下班级中选出体育先进集体共有5种方法,第三步选出卫生先进集体只剩有4种评选方法,根据乘法原理,共有6×
5×
4=120种评选方法.
【例7】从全班20人中选出3名学生排队,一共有多少种排法?
【解析】分三步,分别挑选第一人,第二人,第三人,分别有20,19,18种挑选法,一共有种排法.
【例8】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮,排成一排表演节目.如果贝贝和妮妮不相邻,共有多少种不同的排法?
(6级)
【解析】五位同学的排列方式共有5×
4×
2×
1=120(种).
如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人,那么四人的排列方式共有4×
1=24(种);
因为贝贝和妮妮可以交换位置,所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24×
2=48(种);
贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-48=72(种).
【巩固】10个人围成一圈,从中选出三个人,其中恰有两人相邻,共有多少种不同选法?
1【解析】两人相邻的情况有10种,第三个人不能与他们相邻,所以对于每一种来说,只剩6个人可选,10×
6=60(种)共有60种不同的选法.
【例9】“数学”这个词的英文单词是“MATH”.用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色,每个字母染的颜色都不一样.这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式?
【解析】为了完成对单词“MATH”的染色,我们可以按字母次序,把这个染色过程分四步依次完成:
第1步——对字母“M”染色,此时有种颜色可以选择;
第2步——对字母“A”染色,由于字母“M”已经用过一种颜色,所以对字母“A”染色只有4种颜色可以选择;
第步——对字母“T”染色,由于字母“M”和“A”已经用去了2种颜色,所以对字母“T”染色只剩种颜色可以选择;
第4步——对字母“H”,染色,由于字母“M”、“A”和“T”已经用去了3种颜色,所以对字母“H”染色只有2种颜色可以选择.
由乘法原理,共可以得到种不同的染色方式.
【小结】下面的这棵枚举树清晰地揭示了利用乘法原理分步计数的过程:
思考一下,如果不要求“每个字母染的颜色都不一样”,会有多少种不同的染色方式?
每个字母都有5种颜色可选,那么染色方式一共有5×
5=625种染色方式.
【巩固】“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写,把这3个字母用3种不同颜色来写,现有5种不同颜色的笔,问共有多少种不同的写法?
1【解析】第一步写“I”有5种方法,第二步写“M”有4种方法,第三步写“O”有3种方法,共有种方法.
【例10】“学习改变命运”这六个字要用6种不同颜色来写,现只有6种不同颜色的笔,问共有多少种不同的写法?
1【解析】第一步写“学”有6种方法,第二步写“习”有5种方法,第三步写“改”有4种方法,第四步写“变”有3种方法,第五步写“命”有2种方法,第六步写“运”有1种方法,根据乘法原理,一共有种方法.
【巩固】有6种不同颜色的笔,来写“学习改变命运”这六个字,要求相邻字的颜色不能相同,有多少种不同的方法?
2【解析】写第一个字有6种选择,以后每写一个字,只要保证不与前一个字相同就行了,都有5种选择,所以,有种写法.
【巩固】用5种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字,相邻的字颜色不同,共有多少种写法?
3【解析】第一个字有5种写法,第二个字有4种写法,第三个字也是4种写法,同理后面的字也是4种写法,共有5×
4=320种.
模块二、较
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- 72 乘法 原理