全国版版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第7讲函数的图象学案05092155文档格式.docx
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y=f(|x|);
y=|f(x)|.
[必会结论]
1.左右平移仅仅是相对x而言的,即发生变化的只是x本身,利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1,需要把系数提出来,再进行变换.
2.上下平移仅仅是相对y而言的,即发生变化的只是y本身,利用“上减下加”进行操作.但平时我们是对y=f(x)中的f(x)进行操作,满足“上加下减”.
[考点自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.( )
(2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.( )
(3)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.( )
(4)将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位得到函数y=f(-x-1)的图象.( )
答案
(1)×
(2)×
(3)√ (4)×
2.[课本改编]函数y=log2|x|的图象大致是( )
答案 C
解析 函数y=log2|x|为偶函数,作出x>
0时y=log2x的图象,图象关于y轴对称.应选C.
3.[2018·
山东师大附中月考]函数y=2x-x2的图象大致是( )
答案 A
解析 易探索知x=2和4是函数的两个零点,故排除B、C;
再结合y=2x与y=x2的变化趋势,可知当x→-∞时,0<
2x<
1,而x2→+∞,因此2x-x2→-∞,故排除D.选A.
4.[2018·
北京海淀一模]下列函数f(x)图象中,满足f
>
f(3)>
f
(2)的只可能是( )
答案 D
解析 因为f
f
(2),所以函数f(x)有增有减,不选A,B.又C中,f
<
f(0)=1,f(3)>
f(0),即f
f(3),所以不选C.选D.
5.[课本改编]如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f
=________.
答案 2
解析 ∵由图象知f(3)=1,∴
=1.∴f
=f
(1)=2.
板块二 典例探究·
考向突破
考向
函数图象的画法
例 1 作出下列函数的图象:
(1)y=|x-2|·
(x+2);
(2)y=|log2(x+1)|;
(3)y=
;
(4)y=x2-2|x|-1.
解
(1)函数式可化为y=
其图象如图实线所示.
第
(1)题图 第
(2)题图
(2)将函数y=log2x的图象向左平移1个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图.
(3)原函数解析式可化为y=2+
,故函数图象可由y=
图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图.
第(3)题图 第(4)题图
(4)因为y=
且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,得图象如图.
触类旁通
画函数图象的一般方法
(1)直接法:
当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征直接画出.
(2)图象变换法:
若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
【变式训练1】 作出下列各函数的图象:
(1)y=x-|x-1|;
(2)y=|x2-4x+3|;
|x|;
(4)y=|log2x-1|.
解
(1)根据绝对值的意义,可将函数式化为分段函数y=
可见其图象是由两条射线组成,如图
(1)所示.
(2)函数式可化为y=
图象如图
(2)所示.
(3)作出y=
x的图象,保留y=
x的图象中x≥0的部分,加上y=
x的图象中x>
0部分关于y轴的对称部分,即得y=
|x|的图象,如图(3)实线部分.
(4)先作出y=log2x的图象,再将其图象向下平移一个单位,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得y=|log2x-1|的图象,如图(4)所示.
识图与辨图
命题角度1 知式选图
例 2 [2017·
全国卷Ⅲ]函数y=1+x+
的部分图象大致为( )
解析 当x→+∞时,
→0,1+x→+∞,y=1+x+
→+∞,故排除选项B.
当0<x<
时,y=1+x+
>0,故排除选项A,C.
故选D.
命题角度2 知图选式
例 3 [2018·
泉州五中质检]已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
-1
D.f(x)=x-
解析 由函数图象可知,函数f(x)为奇函数,应排除B,C;
若函数图象为f(x)=x-
,则x→+∞时,f(x)→+∞,排除D.故选A.
命题角度3 知图选图
例 4 已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为( )
答案 B
解析 y=f(x)
y=f(-x)
y=f(2-x)
y=-f(2-x).选B.
函数图象的识辨可从以下几方面入手:
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;
从函数的值域,判断图象的上下位置;
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复;
(5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.
函数图象的应用
例 5 [2015·
北京高考]如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是( )
A.{x|-1<
x≤0}
B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|-1<
x≤1}
D.{x|-1<
x≤2}
解析 令g(x)=y=log2(x+1),作出函数g(x)图象如图.
由
得
∴结合图象知不等式
f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<
x≤1}.
若本例条件变为:
关于x的不等式f(x)≥log2(x+a)在(-1,2]上恒成立,试求实数a的取值范围.
解 在同一坐标系中分别作出f(x)和y=log2(x+a)的图象,若要使f(x)≥log2(x+a)在(-1,2]上恒成立,只需y=f(x)的图象在(-1,2]上恒在y=log2(x+a)的图象上方即可.
则需-a≥1,即a≤-1,
所以实数a的取值范围为(-∞,-1].
利用函数的图象研究不等式思路
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.
【变式训练2】 不等式log2(-x)<
x+1的解集为________.
答案 (-1,0)
解析 设f(x)=log2(-x),g(x)=x+1.
函数f(x),g(x)在同一坐标系中的图象如图.
由图象可知不等式
log2(-x)<
x+1的解集为
{x|-1<
x<
0}.
核心规律
1.识图的要点:
根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x轴、y轴的交点,最高、最低点等).
2.识图的方法
(1)定性分析法:
对函数进行定性分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决;
(2)定量计算法:
通过定量的计算来分析解决;
(3)排除法:
利用本身性质或特殊点进行排除验证.
满分策略
三个必须防范的函数图象应用中的易误点:
(1)函数图象中左、右平移变换可记口诀为“左加右减”,但要注意加、减指的是自变量.
(2)注意含绝对值符号的函数的对称性,如y=f(|x|)与y=|f(x)|的图象是不同的.
(3)混淆条件“f(x+1)=f(x-1)”与“f(x+1)=f(1-x)”的区别,前者告诉周期为2,后者告诉图象关于直线x=1对称.
板块三 启智培优·
破译高考
数学思想系列3——函数图象中的数形结合思想
[2018·
陕西模拟]已知函数y=
的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是________.
解题视点 本题中的函数含有绝对值号,必须先根据绝对值的定义去掉绝对值符号,转化为一般的分段函数,通过数形结合直观判断出两个函数交点的个数即可.
解析 函数y=
的定义域为{x|x≠1},所以当x>
1时,y=x+1,当-1<
1时,y=-x-1,当x≤-1时,y=x+1,图象如图所示,
由图象可知当0<
k<
2且k≠1时两函数恰有两个交点,所以实数k的取值范围为(0,1)∪(1,2).
答案 (0,1)∪(1,2)
答题启示 本题求解利用了数形结合的思想,数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面,本题属于“以形助数”,是指把某些抽象的问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,解释数学问题的本质.
跟踪训练
已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )
A.
B.
C.(1,2)D.(2,+∞)
解析 由已知,函数f(x)=|x-2|+1与g(x)=kx的图象有两个公共点,画图可知当直线介于l1:
y=
x,l2:
y=x之间时,符合题意.故选B.
板块四 模拟演练·
提能增分
[A级 基础达标]
1.已知函数f(x-1)是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,则函数f(x)的图象可能是( )
解析 函数f(x-1)的图象向左平移1个单位,即可得到函数f(x)的图象;
因为函数f(x-1)是定义在R上的奇函数,所以函数f(x-1)的图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称,排除A,C,D.选B.
2.[2018·
昆明模拟]如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x的函数y=f(x)的图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷行走的路线可能是( )
解析 由图象,张大爷晨练时,离家的距离y随行走时间x的变化规律是先匀速增加,中间一段时间保持不变,然后匀速减小.
四川模拟]函数y=
的图象大致是( )
解析 因为函数的定义域是非零实数集,所以A错误;
当x<
0时,y>
0,所以B错误;
指数型函数远比幂函数上升的快,故当x→+∞时,y→0,所以D错误.故选C.
温州模拟]函数y=
-2sinx图象大致为( )
解析 当x=0时,y=0,由此排除选项A;
当x=2π时,y=π<
4,由此排除B;
当x→+∞时,y>
0,由此排除选项D.故应
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- 全国 高考 数学 一轮 复习 函数 导数 及其 应用 图象 05092155
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