届北京市海淀区高三上学期期中考试数学文试题解析版.docx
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届北京市海淀区高三上学期期中考试数学文试题解析版
北京市海淀区2017-2018学年高三上学期期中考试
数学试题(文科)
1.若集合,集合,则
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】,由交集的定义得到:
故答案选择C.
2.命题“”的否定是
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】命题“”的否定是:
;根据换量词否结论,不变条件的原则得到结论即可。
故答案为D。
3.下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的是
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】A:
是偶函数,在上是减函数。
故不正确。
B:
是非奇非偶函数,在上是减函数。
故不正确。
C:
函数是偶函数,在上是增函数,故正确。
D:
是奇函数,在R上是增函数。
故不正确。
故答案为C。
4.已知数列满足,则
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】根据条件得到:
可设,,故两式做差得到:
,故数列的每一项都为0,故D是正确的。
A,B,C,都是不正确的。
故答案为D。
5.在平面直角坐标系中,点的纵坐标为,点在轴的正半轴上.在△中,若,则点的横坐标为
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】设点C的坐标为,点A的坐标为,则,由,以及,得到故得到
故答案选A。
6.已知向量是两个单位向量,则“”是
“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由条件得到,即两边平方得到:
得到即两个向量的夹角是0,又因为长度相等,故;反之也能推得结论。
故答案为C。
7.已知函数()的部分图象如图所示,则的值分别为
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由条件知道:
均是函数的对称中心,故这两个值应该是原式子分母的根,故得到,由图像知道周期是,故,故
,再根据三角函数的对称中心得到,故如果,根据,得到
故答案为B。
点睛:
根据函数的图像求解析式,一般要考虑的是图像中的特殊点,代入原式子;再就是一些常见的规律,分式型的图像一般是有渐近线的,且渐近线是分母没有意义的点;还有常用的是函数的极限值等等方法。
8.若函数的值域为,则实数的取值范围是
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】当时,,故函数在上单调递减,在上单调递增,且过原点,最小值为;当时,若a<0,则原函数开口向下,值域小到负无穷,故一定有a>0,此时图像是开口向上的二次函数图像,最小值在对称轴处取得,故最小值为
故答案为:
D。
点睛:
这是分段函数的值域问题,先确定没有未知量的一支的图像和单调性,从而得到函数的值域,再解决含参数的一支的值域问题。
分段函数的值域一般是两段的值域的并集;二次函数的值域问题和函数的对称轴有密切关系,研究轴处的函数值,就是函数的最值。
9.已知等差数列满足,则公差=_____.
【答案】
【解析】由等差数列的通项公式得到:
化为基本量a和公差d。
故答案为2。
10.已知向量,,若与平行,则的值为______.
【答案】
【解析】∵,
∴
∵与平行
∴
∴,故填.
11.已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数,当时,,则.
【答案】
【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数,根据奇函数的定义得到KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...
故结果为-2。
12.如图,弹簧挂着一个小球作上下运动,小球在秒时相对于平衡位置的高度(厘米)由如下关系式确定:
,则小球在开始振动(即)时的值为_________,小球振动过程中最大的高度差为__________厘米.
【答案】
(1).
(2).
【解析】化简可得h=sint+cost
=2(sint+cost)
=2sin(t+),
令t=0可得h=,
由振幅为2,可得小球振动时最高时离平衡位置为2,最低离平衡位置向下为2,故最大的高度差为4
故答案为:
;4
点睛:
这个题目是实际应用题目。
根据题干条件得到高度的函数表达式,转化为求函数的最值即可;而接下来就是振幅的概念了;实际应用题目首先要弄清楚数学模型,比如这个题中的函数模型,再根据条件转化为数学中的知识。
13.能够说明“设是实数.若,则”是假命题的一个实数的值
为______.
【答案】
【解析】因为,故,等号成立的条件为,故当时函数值等于3.此时不满足题干。
故答案为2。
点睛:
这个题目是考查的均值不等式的条件,首先均值不等式的条件是一正,二定,三相等,积是定值时,和有最小值,和是定值时,积有最大值;故首先要构造出乘积的定值,最终确定等号能否取到。
14.已知非空集合满足以下两个条件:
(ⅰ);
(ⅱ)集合的元素个数不是中的元素,集合的元素个数不是中的元素.
那么用列举法表示集合为_______.
【答案】或
【解析】根据题意可以分情况讨论,当集合A中有一个元素时,若,则,不符合集合的元素个数不是中的元素,这一条件;若A符合条件。
,此时不符合条件。
当集合A中有两个元素时,2这个数字不能属于A集合,也不能属于B集合。
不满足条件。
当集合A中有3个元素时,符合条件。
故结果为集合为:
或。
15.已知函数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数的单调递增区间.
【答案】(I)(II).
【解析】试题分析:
(1)把角代入解析式,化简即可;
(2)利用辅助角公式化简,根据正弦函数的单调性写出增区间即可求解.
试题解析:
(I)
(II).
令
得
所以函数的单调递增区间为.
16.已知等比数列满足,.
(Ⅰ)求的通项公式及前项和;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ)(N+),;(Ⅱ).
【解析】试题分析:
(1)根据等比数列的概念和通项的性质得到,,进而得到通项公式;
(2)由第一问得到,,故,再根据裂项求和的方法求得数列的和即可。
(1)设等比数列的公比为.因为,且
所以,得,又因为,所以,得,.
所以(N+),所以
(2)因为,所以,
所以.所以数列的前项和
.
17.如图,△为正三角形,,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求,的长.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ),.
【解析】试题分析:
(1)根据平行线的性质得到),再根据两角和差公式得到=,代入已知角的三角函数值即可;
(2)由三角形中正弦定理得到,进而得到,再根据余弦定理得到的长为。
(1)因为△为正三角形,,所以在△中,,所以.所以=
因为在△中,,
所以.
所以.
(2)在△中,,由正弦定理得:
,
所以
又在正△中,,,
所以在△中,,
由余弦定理得:
所以的长为.
18.已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数在上的最大值;
(Ⅲ)求证:
存在唯一的,使得.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)6;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)根据导数的几何意义求切线斜率,写出切线方程;(Ⅱ)写出函数在区间上导数的变化情况,列表求最值即可;(Ⅲ)构造函数=,只需证明函数有唯一零点即可.
试题解析:
(Ⅰ)由,得,
所以,又
所以曲线在点处的切线方程为:
,即:
.
(Ⅱ)令,得.
与在区间的情况如下:
-
0
+
极小值
因为所以函数在区间上的最大值为6.
(Ⅲ)证明:
设=,
则,
令,得.
与随x的变化情况如下:
1
0
0
极大值
极小值
则的增区间为,,减区间为.
又,,所以函数在没有零点,又,
所以函数在上有唯一零点.
综上,在上存在唯一的,使得.
19.已知数列满足,,(N*).
(Ⅰ)写出的值;
(Ⅱ)设,求的通项公式;
(Ⅲ)记数列的前项和为,求数列的前项和的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】试题分析:
(Ⅰ)根据递推关系式写出前六项即可;(Ⅱ)利用等差数列定义证明是等差数列,并写出其通项公式;(Ⅲ)根据等差数列的性质写出,再证出是等比数列,写出通项公式,可知当时项是非正的,从而得其最小值.
试题解析:
(Ⅰ),;
(Ⅱ)设,则,
所以是以1为首项,2为公差的等差数列,所以.
(Ⅲ)解法1:
,,
所以是以1为首项,为公差的等差数列,所以数列的前n个奇数项之和为,由(Ⅱ)可知,,
所以数列的前n个偶数项之和为.
所以,所以.
因为,且
所以数列是以为首项,为公差的等差数列.
由可得,
所以当或时,数列的前项和的最小值为.
点睛:
本题考查了等差数列的定义,求数列的前n项和即数列的最大值与恒成立问题,属于难题.解决数列的证明问题时,一般要紧扣等差等比的定义,用定义证明,数列求和时,一般根据通项的特点选择合适的求和方法,其中裂项相消和错位相减法考查的比较多,在涉及数列的恒成立问题时,一般要考虑数列项的最值或前n项和的最值,进行转化处理即可.
20.已知函数.
(Ⅰ)求证:
1是函数的极值点;
(Ⅱ)设是函数的导函数,求证:
.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)求函数的导数,分析导数在1两侧的符号,判定1是极值点;(Ⅱ)求出的导数,找到,列表求出函数的最小值即可证明.
试题解析:
(Ⅰ)证明:
证法1:
的定义域为
由得
,.
当时,,,故在上单调递增;
当时,,,故在上单调递减;
所以1是函数的极值点.
证法2:
(根据极值的定义直接证明)
的定义域为
,
当时,,即;
当时,,即;
根据极值的定义,1是的极值点.
(Ⅱ)由题意可知,
证法1:
,
令,
,故在上单调递增.又,又在上连续,
使得,即,
.(*)
随x的变化情况如下:
↘
极小值
↗
………………10分
.
由(*)式得,代入上式得
.
令,
,故在上单调递减.
,又,.
即.
证法2:
,
令,
随x的变化情况如下:
↘
极小值
↗
,即,当且仅当时取到等号.
,令得.
随x的变化情况如下:
↘
极小值
↗
,即,当且仅当时取到等号..即.
点睛:
本题考查函数的单调性极值及恒成立问题,涉及函数不等式的证明,综合性强,难度大,属于难题.处理导数大题时,注意分层得分的原则,力争第一二问答对,第三问争取能写点,一般涉及求函数单调性及极值时,比较容易入手,求导后注意分类讨论,对于恒成立问题一般要分离参数,然后利用函数导数求函数的最大值或最小值,对于含有不等式的函数问题,一般要构造函数,利用函数的单调性来解决,但涉及技巧比较多,需要多加体会.
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