中考数学确定圆的位置三心专题含答案Word文件下载.docx
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∴∠BAC=90°
,
设BC的关系式为:
y=kx+b,
代入B(-3,3),C(7,-2),
可得,
解得:
∴BC:
y=+,
当y=0时,x=3,即G(3,0),
∴点A与点G关于BD对称,射线BD是∠ABC的平分线,
设点M为三角形的内心,内切圆的半径为r,在BD上找一点M,过点M作ME⊥AB,过点M作MF⊥AC,且ME=MF=r,
∵∠BAC=90°
∴四边形MEAF为正方形,
S△ABC=,
r=,
即AE=EM=,
∴BE=3-=2,
∴BM=,
∵B(-3,3),
∴M(2,3),
故答案为:
(2,3).
【经典例题2】如图,在平面直角坐标系xOy中,点A为(0,3),点B为(2,1),点C为(2,-3),则经画图操作可知:
△ABC外心的坐标应是( )
A.(-3,-1)B.(-1,-1)C.(-2,-1)D.(-4,-1)
【解析】∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点,
∴作图得:
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心,
∴△ABC的外心坐标是(−2,−1).
故选C.
练习1-1如图,在5×
5正方形网格中,一条圆弧经过A、B、C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是()
A.点PB.点QC.点RD.点M
【解析】连结BC,
作AB和BC的垂直平分线,它们相交于Q点。
故选B.
练习1-2如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为.
【解析】连接CB,作CB的垂直平分线,如图所示:
在CB的垂直平分线上找到一点D,
CD=DB=DA=,
所以D是过A,B,C三点的圆的圆心,
即D的坐标为(−1,−2),
(−1,−2),
练习1-3如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,P的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2).若点C在第一象限内,且横坐标、纵坐标均为整数,P是△ABC的外心,则点C的坐标为____.
【解析】∵点A.B.P的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2).
∴PA=PB=,
∵点C在第一象限内,且横坐标、纵坐标均为整数,P是△ABC的外心,
∴PC=PA=PB=,
则点C的坐标为(7,4)或(6,5)或(1,4);
(7,4)或(6,5)或(1,4).
练习1-4如图,已知直角坐标系中,A(0,4)、B(4,4)、C(6,2),写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标:
(,)
【解析】根据垂径定理的推论:
弦的垂直平分线必过圆心,
可以作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心.
如图所示,则圆心是(2,0).
2,0.
练习1-5(2020·
东莞市期末)如图2,在平面直角坐标系中,点的坐标为(1,4)、(5,4)、(1、),则外接圆的圆心坐标是()
A.(2,3)B.(3,2)C.(1,3)D.(3,1)
【解析】根据垂径定理的推论,则
作弦AB、AC的垂直平分线,交点O1即为圆心,且坐标是(3,1).
故选D.
练习1-6如图,每个小三角形都是正三角形,则△ABC的外心是().
A.D点B.E点C.F点D.G点
【解析】如图,连接BE
设小正三角形的边长为1,则AN=MN=AN=2,BN=BM=1,AP=CQ=1,
即∠APE=∠CQE=60°
∴AB⊥MN,即∠ABC=90°
∵∠AEP=∠CEQ
∴△APE≌△CEQ
∴AE=CE
∴BE=AE=CE=AC
∴点E是△ABC的外心
故选B
练习1-710个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内,A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点,则点O是下列哪个三角形的外心()
A.△AEDB.△ABDC.△BCDD.△ACD
【解析】D
练习1-8如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,△AOB为Rt△,点A的坐标是(1,0),∠BAO=60°
,把Rt△AOB绕点A按顺时针方向旋转90°
后,得到Rt△AO'
B'
,则Rt△AO'
的外接圆圆心坐标是.
答案:
练习1-9如图,在△ABC中,AB=3,AC=,点D是BC边上的一点,AD=BD=2DC,设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1,r2,那么=()
A.2B.C.D.
【解析】如图,设O与△ABC内切于E.F.G.
∵DA=DB,DG=DF,
∴BF=AG=BE=AE,
∵AB=3,
∴AE=BE=BF=AG=,设DF=DG=m,
∵AD=2DC,
∴CD=(+m),
∵S△ABD:
S△ADC=BD:
DC=2:
1,
∴(3+3+2m)⋅r1:
[+(+m)]⋅r2=2:
∴(6+2m)⋅r1:
(2+2m)⋅r2═2:
∴r1:
r2=3:
2.
【经典例题3】如图,在△ABC中,∠A=60°
,BC=5cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是cm.
【解析】设圆的圆心为点O,能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆,
∵在△ABC中,∠A=60°
,BC=5cm,
∴∠BOC=120°
作OD⊥BC于点D,则∠ODB=90°
,∠BOD=60°
∴BD=,∠OBD=30°
∴OB=,得OB=,
∴2OB=,
即△ABC外接圆的直径是cm,
.
练习3-1(2019·
台州市期中)如图,在5×
5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条弧所在圆的半径是(
)
A.2B.C.D.3
再根据勾股定理求得CQ=
练习3-2如图,在△ABC中一点D为△ABC的内心,∠A=60°
,CD=2,BD=4,则△DBC的面积是.
【解析】过点B作BH⊥CD于点H.
∵点D为△ABC的内心,∠A=60∘,
∴∠BDC=90∘+12∠A=90∘+12×
60∘=120∘,
则∠BDH=60∘,
∵BD=4,BD:
CD=2:
1
∴DH=2,BH=2,CD=2,
∴△DBC的面积为CD⋅BH=×
2×
2=2,
故选:
C.
练习3-3如图,在等腰△ABC中,AB=AC=2,BC=8,按下列步骤作图:
①以点A为圆心,适当的长度为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧相交于点H,作射线AH
②分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径作弧相交于点M,N,作直线MN,交射线AH于点O;
③以点O为圆心,线段OA长为半径作圆
则的圆O的半径为()
A.2B.10C.4D.5
【解析】如图,设OA交BC于T,AB=AC,AO平分∠BAC
∴AO⊥BC,BT=TC=4
∴AT=
在Rt△OCT中,则有r2=(r-2)2+4解得r=5
故选D.
练习3-4如图,⊙O是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是上一点,则∠EPF的度数是(
A.65°
B.60°
C.58°
D.50°
【解析】B如图所示,
练习3-5如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,O是以BC为直径的圆,点P在AD边上运动(不与A,D重合),BP交O于Q,连接CQ.
(1)设线段BP的长为xcm,CQ的长为ycm.求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围;
(2)求当=时,△APB的外接圆及内切圆的面积.
【解析】
(1)∵BC是圆的直径,∴∠BQC=90°
.
∵∠ABP+∠PBC=90°
,∠BCQ+∠PBC=90°
∴∠ABP=∠BCQ.
在△ABP和△QCB中∠A=∠BQC=90°
,∠ABP=∠BCQ
∴△ABP∽△QCB.
∴CQ/AB=BC/PB,即.
∵点P在AD边上运动,BD=10,
∴函数关系式为y=.(6<
x<
10);
(2)∵=,∴CQ=PB.
∴48/PB=6PB/5,解得PB=2.
AP==2.
外接圆的面积S=π()2=10πcm2.
设内切圆半径为r,则根据三角形面积有(6+2+2)r=6×
解得r=4−.
所以内切圆的面积S=π(4−)2=(26−8)πcm2.
练习3-6如图所示,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D.已知:
AB=24cm,CD=8cm.
(1)求作此残片所在的圆的圆心(不写作法,保留作图痕迹).
(2)求
(1)中所作圆的半径.
(1)作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点,以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆,如图。
(2)连接OA,设OA=x,AD=12cm,OD=(x−8)cm,
则根据勾股定理列方程:
x2=122+(x−8)2,
x=13.
答:
圆的半径为13cm.
练习3-7如图是一块含30°
(即∠CAB=30°
)角的三角板和一个量角器拼在一起,三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合,其量角器最外缘的读数是从N点开始(即N点的读数为0),现有射线CP绕着点C从CA顺时针以每秒2度的速度旋转到与△ACB外接圆相切为止。
在旋转过程中,射线CP与量角器的半圆弧交于E.
(1)当射线CP与△ABC的外接圆相切时,求射线CP旋转度数是多少?
(2)当射线CP分别经过△ABC的外心、内心时,点E处的读数分别是多少?
(3)当旋转7.5秒时,连接BE,求证:
BE=CE.
(1)连接OC.
∵射线CP与△ABC的外接圆相切,
∴∠OCP=90°
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠A=30°
∴射线CP旋转度数是120°
;
(2)∵∠BCA=90°
∴△ABC的外接圆就是量角器所在的圆。
当CP过△ABC外心时(即过O点),∠BCE=60°
∴∠BOE=120°
,即E处的读数为120,
当CP过△ABC的内心时,∠BCE=45°
,∠EOB=90°
∴E处的读数为90.
(3)证明:
在图2中,
∵∠PCA=2×
7.5°
=15°
,∠BCE=75°
,∠ECA=∠EBA=15°
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°
∴BE=EC.
练习3-8如图,在Rt△A
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