概率论模拟试题四套及答案.doc
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模拟试题一
一、填空题(每空3分,共45分)
1、已知P(A)=0.92,P(B)=0.93,P(B|)=0.85,则P(A|)=。
P(A∪B)=。
2、设事件A与B独立,A与B都不发生的概率为,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相等,则A发生的概率为:
;
3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率:
;没有任何人的生日在同一个月份的概率;
4、已知随机变量X的密度函数为:
则常数A=,分布函数F(x)=,概率;
5、设随机变量X~B(2,p)、Y~B(1,p),若,则p=,若X与Y独立,则Z=max(X,Y)的分布律:
;
6、设且X与Y相互独立,则D(2X-3Y)=,
COV(2X-3Y,X)=;
7、设是总体的简单随机样本,则当时,
;
8、设总体为未知参数,为其样本,为样本均值,则的矩估计量为:
。
9、设样本来自正态总体,计算得样本观察值,求参数a的置信度为95%的置信区间:
;
二、计算题(35分)
1、(12分)设连续型随机变量X的密度函数为:
求:
1);2)的密度函数;3);
2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为
1)求边缘密度函数;
2)问X与Y是否独立?
是否相关?
3)计算Z=X+Y的密度函数;
3、(11分)设总体X的概率密度函数为:
X1,X2,…,Xn是取自总体X的简单随机样本。
1)求参数的极大似然估计量;
2)验证估计量是否是参数的无偏估计量。
三、应用题(20分)
1、(10分)设某人从外地赶来参加紧急会议,他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10,1/5,1/10和2/5。
如果他乘飞机来,不会迟到;而乘火车、轮船或汽车来,迟到的概率分别是1/4,1/3,1/2。
现此人迟到,试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大?
2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X服从正态分布。
现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据:
0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰
能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定()?
附表:
答案(模拟试题一)
四、填空题(每空3分,共45分)
1、0.8286,0.988;
2、2/3;
3、,;
4、1/2,F(x)=,;
5、p=1/3,Z=max(X,Y)的分布律:
Z012
P8/2716/273/27;
6、D(2X-3Y)=43.92,COV(2X-3Y,X)=3.96;
7、当时,;
8、的矩估计量为:
。
9、[9.216,10.784];
五、计算题(35分)
1、解1)
2)
3)
2、解:
1)
2)显然,,所以X与Y不独立。
又因为EY=0,EXY=0,所以,COV(X,Y)=0,因此X与Y不相关。
3)
3、解1)
令
解出:
2)
的无偏估计量。
六、应用题(20分)
1、(10分)设某人从外地赶来参加紧急会议,他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10,1/5,1/10和2/5。
如果他乘飞机来,不会迟到;而乘火车、轮船或汽车来,迟到的概率分别是1/4,1/3,1/2。
现此人迟到,试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大?
解:
设事件A1,A2,A3,A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”,其概率分别等于3/10,1/5,1/10和2/5,事件B表示“迟到”,
已知概率分别等于1/4,1/3,1/2,0
则
,
,
由概率判断他乘火车的可能性最大。
2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X服从正态分布。
现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据:
0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰
能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定()?
解:
(‰),
拒绝域为:
计算
,
所以,拒绝,说明有害物质含量超过了规定。
附表:
模拟试题二
一、填空题(45分,每空3分)
1.设则,
。
2.设三事件相互独立,且,若,则。
3.设一批产品有12件,其中2件次品,10件正品,现从这批产品中任取3件,若用表示取出的3件产品中的次品件数,则的分布律为
。
4.设连续型随机变量的分布函数为
则,的密度函数。
5.设随机变量,则随机变量的密度函数
。
6.设的分布律分别为
-10101
1/41/21/41/21/2
且,则的联合分布律为
;
和。
7.设,则,
。
8.设是总体的样本,则当,时,统计量服从自由度为2的分布。
9.设是总体的样本,则当常数时,是参数的无偏估计量。
10.设由来自总体容量为9的样本,得样本均值=5,则参数的置信度为0.95的置信区间为。
二、计算题(27分)
1.(15分)设二维随机变量的联合密度函数为
(1)求的边缘密度函数;
(2)判断是否独立?
为什么?
(3)求的密度函数。
2.(12分)设总体的密度函数为
其中是未知参数,为总体的样本,求
(1)参数的矩估计量;
(2)的极大似然估计量。
三、应用题与证明题(28分)
1.(12分)已知甲,乙两箱中有同种产品,其中甲箱中有3件正品和3件次品,乙箱中仅有3件正品,从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,
(1)求从乙箱中任取一件产品为次品的概率;
(2)已知从乙箱中取出的一件产品为次品,求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中恰有2件次品的概率。
2.(8分)设某一次考试考生的成绩服从正态分布,从中随机抽取了36位考生的成绩,算得平均成绩分,标准差分,问在显著性水平下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分,并给出检验过程。
3.(8分)设,证明:
相互独立。
附表:
答案(模拟试题二)
一、填空题(45分,每空3分)
1.
2.
3.012
6/119/221/22
4.,
5.
6.
01
-1
0
1
1/40
01/2
1/40
7.
8.;
9.;10.
二、计算题(27分)
1.
(1)
(2)不独立
(3)
2.(12分)
(1)计算
根据矩估计思想,
解出:
;
(2)似然函数
显然,用取对数、求导、解方程的步骤无法得到的极大似然估计。
用分析的方法。
因为,所以,即
所以,当时,使得似然函数达最大。
极大似然估计为。
三、应用题与证明题(28分)
1.(12分)已知甲,乙两箱中有同种产品,其中甲箱中有3件正品和3件次品,乙箱中仅有3件正品,从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,
(1)求从乙箱中任取一件产品为次品的概率;
(2)已知从乙箱中取出的一件产品为次品,求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中恰有2件次品的概率。
解:
(1)设表示“第一次从甲箱中任取3件,其中恰有i件次品”,(i=0,1,2,3)
设表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件;
(2)
2.(8分)设某一次考试考生的成绩服从正态分布,从中随机抽取了36位考生的成绩,算得平均成绩分,标准差分,问在显著性水平下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分,并给出检验过程。
解:
(‰),
拒绝域为:
…
根据条件,,计算并比较
所以,接受,可以认为平均成绩为70分。
3.(8分)设,证明:
相互独立。
证明:
因为
相互独立
模拟试题三
一、填空题(每题3分,共42分)
1.设若互斥,则;
独立,则;若,则。
2.在电路中电压超过额定值的概率为,在电压超过额定值的情况下,仪器烧坏的概率为,则由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为;
3.设随机变量的密度为,则使成立的常数;;
4.如果的联合分布律为
Y123
X
11/61/91/18
21/3
则应满足的条件是,若独立,,,。
5.设,且则,。
6.设,则服
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