天津市中考数学题型专项复习训练含答案角度问题 1文档格式.docx
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(Ⅰ)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°
∵AC=AB,
∴∠ABC=30°
∴∠A=90°
-∠ABC=60°
∴∠P=∠A=60°
(Ⅱ)∵AB是⊙O的直径,AC=AB,
∴∠A=60°
∴∠BPC=∠A=60°
∵CD⊥PB,
∴∠PCD=90°
-∠BPC=30°
∵CP⊥AB,AB是⊙O的直径,
∴,
∴BC=BP,
∴∠P=∠BCP=60°
∴∠BCD=∠BCP-∠PCD=60°
-30°
=30°
.
3.如图①,在△ABC中,点D在边BC上,∠ABC:
∠ACB:
∠ADB=1:
2:
3,⊙O是△ABD的外接圆.
(Ⅰ)求证:
AC是⊙O的切线;
(Ⅱ)当BD是⊙O的直径时(如图②),求∠CAD的度数.
第3题图
(Ⅰ)证明:
如解图,连接OA、OD,设∠ABD=x,
∵∠ABC:
3,
∴∠ADB=3x,∠ACB=2x,
∴∠DAC=∠ADB-∠ACB=x,∠AOD=2∠ABC=2x,
∴∠OAD==90°
-x,
∴∠OAC=90°
-x+x=90°
∴OA⊥AC,
∴AC是⊙O的切线;
(Ⅱ)解:
∵BD是⊙O的直径,
∴∠BAD=90°
∴∠ABC+∠ADB=90°
∴4∠ABC=90°
∴∠ABC=22.5°
∴∠ADB=67.5°
∠ACB=45°
∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=22.5°
第3题解图
4.如图,点O在边长为6的正方形ABCD的对角线AC上,以O为圆心OA为半径的⊙O交AB于点E.
(Ⅰ)⊙O过点E的切线与BC交于点F,当0<OA<6时,求∠BFE的度数;
(Ⅱ)设⊙O与AB的延长线交于点M,⊙O过点M的切线交BC的延长线于点N,当6<OA<12时,利用备用图作出图形,求∠BNM的度数.
(Ⅰ)连接OE,如解图①,
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠2=45°
∵OE=OA,
∴∠1=∠2=45°
∵EF为⊙O的切线,
∴OE⊥EF,
∴∠OEF=90°
∴∠BEF=45°
∵∠B=90°
∴∠BFE=45°
(Ⅱ)连接OM,如解图②,
∵OM=OA,
∴∠OMA=∠OAM=45°
∵MN为⊙O的切线,∴OM⊥MN,
∴∠OMN=90°
∴∠BMN=45°
∵∠MBN=90°
∴∠BNM=45°
图①图②
第4题解图
5.四边形ABCD内接于⊙O,AC为其中一条对角线.
(Ⅰ)如图①,若∠BAD=70°
BC=CD,求∠BAC的大小;
(Ⅱ)如图②,若AD经过圆心O,连接OC,AB=BC,OC∥AB,求∠OCD的大小.
第5题图
(Ⅰ)∵四边形ABCD内接于⊙O,BC=CD,
∴∠BAC=∠CAD,
∵∠BAD=70°
∴∠BAC=∠CAD=35°
(Ⅱ)连接BD,如解图,
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA,
∵OC∥AB,
∴∠BAC=∠OCA,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵∠ADB=∠ACB,
∴∠BAC=∠CAO=∠ADB=∠ACO,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=∠ACD=90°
∴∠ADB+∠BAD=90°
即3∠ACO=90°
∴∠ACO=30°
∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=90°
=60°
第5题解图
6.在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E.
(Ⅰ)如图①,过点D作DF⊥AC,垂足为F,求证:
直线DF与⊙O相切;
(Ⅱ)如图②,过点B作⊙O的切线,与AC的延长线交于点G,若∠BAC=35°
求∠CBG的大小.
第6题图
(Ⅰ)如解图①,连接OD,∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵OD=OB,
∴∠B=∠ODB,
∴∠C=∠ODB,
∴OD∥AC.
∴∠CFD=∠FDO,
∵∠CFD=90°
∴∠FDO=90°
∴DF⊥OD,
∵OD为⊙O的半径,
∴直线DF与⊙O相切;
(Ⅱ)如解图②,连接AD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,∴AD平分∠CAB,
∵∠BAC=35°
∴∠DAB=17.5°
∴∠CBA=90°
-∠DAB=90°
-17.5°
=72.5°
∵BG与⊙O相切,
∴∠ABG=90°
∴∠CBG=90°
-∠CBA=90°
-72.5°
=17.5°
图①图②
第6题解图
7.在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,DF为⊙O的切线,
(Ⅰ)如图①,求∠DFC的度数;
(Ⅱ)如图②,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点G,连接CG,当△ABC为等边三角形时,求∠AGC的度数.
第7题图
(Ⅰ)连接AD,OD,如解图,
∵AB是⊙O的直径,
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,
∴BD=DC,
又∵AO=BO,
∴OD是△ABC的中位线,
∵DF是⊙O的切线,
∴DF⊥AC,
∴∠DFC=90°
(Ⅱ)∵AB是⊙O的直径,∴BG⊥AC.
∵△ABC是等边三角形,
∴BG是AC的垂直平分线,
∴GA=GC.
又∵AG∥BC,∠ACB=60°
∴∠CAG=∠ACB=60°
∴△ACG是等边三角形.
∴∠AGC=60°
第7题解图
8.已知AB是半圆O的直径,点C是半圆O上的动点,点D是线段AB延长线上的动点,在运动过程中,保持CD=OA.
(Ⅰ)当直线CD与半圆O相切时(如图①),求∠ODC的度数;
(Ⅱ)当直线CD与半圆O相交时(如图②),设另一交点为E,连接AE,若AE∥OC,求∠ODC的度数.
第8题图
(Ⅰ)如解图①,连接OC,
∵OC=OA,CD=OA,
∴OC=CD,
∴∠ODC=∠COD,
∵CD是⊙O的切线,
∴∠OCD=90°
∴∠ODC=45°
(Ⅱ)如解图②,连接OE.
∵CD=OA,∴CD=OC=OE=OA,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,
∵AE∥OC,
∴∠2=∠3.
设∠ODC=∠1=x,则∠2=∠3=∠4=x.
又∵∠6是△COD的外角,
∴∠5=∠6=∠1+∠2=2x.
∵OE=OC,∴∠5=∠6=2x.
∴∠4+∠5+∠6=180°
即:
x+2x+2x=180°
∴x=36°
∴∠ODC=36°
第8题解图
9.如图①,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF和⊙O相切于点C,AD⊥EF,垂足为D.
∠DAC=∠BAC;
(Ⅱ)若直径AB=4,AD=3,试求∠BAC的度数.
第9题图
如解图,连接OC,
则OC=OA,
∵EF切⊙O于点C,
∴OC⊥EF,
∵AD⊥EF,
∴OC∥AD,
∴∠OCA=∠DAC,
∴∠DAC=∠BAC;
如解图,连接BC,
∵AB是⊙O的直径,AD⊥EF,
∴∠ACB=∠ADC=90°
由(Ⅰ)知∠DAC=∠BAC,
∴△ADC∽△ACB,
∴AC2=AD•AB=3×
4=12,
∴AC=2,
在Rt△ABC中,cos∠BAC=,
∴∠BAC=30°
.
第9题解图
10.已知⊙O是△ABC的外接圆,过点A作⊙O的切线,与CO的延长线交于点P,CP与⊙O交于点D.
(Ⅰ)如图①,若∠P=38°
求∠B的大小;
(Ⅱ)如图②,若AP∥BC,∠B=72°
求∠BAC的大小.
第10题图
(Ⅰ)如解图①,连接OA,
∵PA与⊙O与相切,
∴∠PAO=90°
∴∠POA=90°
-∠P=90°
-38°
=52°
∴∠AOC=180°
-∠POA=180°
-52°
=128°
∴∠B=∠AOC=64°
(Ⅱ)如解图②,连接BD.
∵DC为⊙O的直径,
∴∠DBC=90°
∴∠ABD=90°
-∠ABC=90°
-72°
=18°
∵∠ABD=∠ACD,
∴∠ACD=18°
∴∠AOD=2∠ACD=36°
又∵∠PAO=90°
∴∠P=54°
∵AP∥BC,
∴∠PCB=∠P=54°
∴∠CDB=90°
-54°
=36°
∴∠BAC=∠BDC=36°
第10题解图
11.已知⊙O中,AC为直径,DA、DB分别切⊙O于点A、B.
(Ⅰ)如图①,若∠D=50°
求∠C的大小;
(Ⅱ)如图②,过点B作BE⊥AC于点F,交⊙O于点E,若BD=BE,求∠C的大小.
第11题解图
(Ⅰ)如解图①,连接AB,
∵AD,BD为⊙O的切线,
∴AD=BD,
∴∠DAB=∠DBA,
∵∠D=50°
∴∠BAD=65°
∵AD与⊙O相切,
∴AD⊥AC,
∴∠DAC为直角,
∴∠CAB=25°
∵AC为直径,
∴∠ABC=90°
∴∠C=90°
-25°
=65°
(Ⅱ)如解图②,连接AB、AE,
∵直径AC垂直于弦BE,
∴A为优弧的中点,
∴AB=AE,
∵AD为圆O的切线,
又∵BE⊥AC,
∴AD∥BE,
∵BD=AD,BD=BE,
∴BE=AD,
∴四边形ADBE为平行四边形,
又∵BD=BE,
∴四边形ADBE为菱形,∴BE=AE,
∴AB=AE=BE,即△ABE为等边三角形,
∴∠E=60°
∴∠C=∠E=60°
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