空间向量高考题nbsp.docx
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空间向量高考题nbsp
空间向量高考题
06年12月龙中
1.如下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB=FB=1.
(Ⅰ)求二面角C—DE—C1的正切值;(Ⅱ)求直线EC1与FD1所成角的余弦值.
2、.如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,AB=8,AD=4,侧面PAD为等边三角形,并且与底面所成二面角为60°.
(Ⅰ)求四棱锥P—ABCD的体积;(Ⅱ)证明PA⊥BD.
4、如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的射影为A1,点B在直线l上的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=,求:
(Ⅰ)直线AB分别与平面α,β所成的角的大小;(Ⅱ)二面角A1-AB-B1的大小.
证∵α⊥β,α∩β=l,AA1⊥l,BB1⊥l, ∴AA1⊥β,BB1⊥α,
则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.
Rt△BB1A中,BB1=,AB=2,∴sin∠BAB1=,
∴∠BAB1=45°.
Rt△AA1B中,AA1=1,AB=2,
∴sin∠ABA1=, ∴∠ABA1=30°.
故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.
(Ⅱ)如图,建立坐标系,则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).
在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得=t,
即(x,y,z-1)=t(),∴点F的坐标为(t,t,1-t).
要使 ,须=0,即(,t,1-t)·(,1,-1)=0,2t+t-(1-t)=0,解得t=,∴点F的坐标为()∴().
设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0,).∴
又∴, ∴∠A1FE为所求二面角的平面角.
又 cos∠A1FE=
∴二面角A1-AB-B1的大小为arccos.
5、如图,在直三棱柱中,、分别为、的中点。
(I)证明:
ED为异面直线与的公垂线;(II)设求二面角的大小
(Ⅰ)如图,建立直角坐标系其中原点为的中点。
设则
又=(-2a,0,2c)
∴ED⊥AC1所以是异面直线与的公垂线。
(Ⅱ)不妨设
则
,
,即,又,
面又 ,
,
,即,又,
面
,即得和的夹角为,
所以二面角为
6、已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点。
(Ⅰ)证明:
面PAD⊥面PCD;(Ⅱ)求AC与PB所成的角;(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小。
证:
因为PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A为坐标原点,AD长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为
A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,).
(I)证明:
因=(0,0,1),=(0,1,0),故·=0,所以AP⊥DC.
又由题设知AD⊥DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线,由此得DC⊥面PAD。
又DC在面PCD上,故面PAD⊥面PCD.
(II)解:
因=(1,1,0),=(0,2,-1),
故||=,||=,·=2,所以
cos<·>==
由此得AC与PB所成的角为arccos
(III)解:
在MC上取一点N(x,y,z),则存在λ∈R,使
=λ,
=(1-x,1-y,-z),=(1,0,-),∴x=1-λ,y=1,z=λ.
要使AN⊥MC只需·=0,即x-z=0,解得λ=.
可知当λ=时,N点坐标为(,1,),能使·=0.
此时,=(,1,),=(,-1,),有·=0.
由·=0,·=0得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB为所求二面角的平面角.
∵||=,||=,·=-∴cos<,>=故所求的二面角为arccos(-).
7、如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD、PB的中点。
(Ⅰ)求证:
EF⊥平面PAB;(Ⅱ)设AB=BC,求AC与平面AEF所成的角的大小。
证:
以D为坐标原点,DA的长为单位,建立如图所示的直角坐标系.
(Ⅰ)证明:
设E(a,0,0)其中a>0,则C(2a,0,0),A(0,1,0)B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,,).
=(0,,),=(2a,1,-1),=(2a,0,0)。
·=0,∴EF⊥PB.
·=0,∴EF⊥AB
又PB平面PAB,AB平面PAB,PB∩AB=B.
∴EF⊥平面PAB.
(Ⅱ)解:
由AB=BC,得a=.
可得=(,-1,0),=(,1,-1)
cos<·>==,
异面直线AC、PB所成的角为arccos.
=(,-,).
∴·=0,PB⊥AF.
又PB⊥EF,EF、AF为平面AEF内两条相交直线,
即AC与平面AEF所成的角为arcsin.
8.如图,已知四棱锥P—ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.
(Ⅰ)求点P到平面ABCD的距离;(Ⅱ)求面APB与面CPB所成二面角的大小.
(Ⅰ)解:
如图,作PO⊥平面ABCD,垂足为点O.
连结OB、OA、OD,OB与AD交于点E,连结PE.
∵AD⊥PD,∴AD⊥OB,
∵PA=PD,∴OA=OD,
于是OB平分AD,点E为AD的中点,所以PE⊥AD.
由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角,
∴∠PEB=120,∠PEO=60.由已知可求得PE=,
∴PO=PE·sin60=×=,即点P到平面ABCD的距离为.
(Ⅱ):
如图建立直角坐标系,其中O为坐标原点,x轴平行于DA.
P(0,0,),B(0,,0),PB中点G的坐标为(0,,),连结AG.
又知A(1,,0),C(-2,,0).由此得到:
=(1,-,-),
=(0,,-),=(-2,0,0).于是有·=0,·=0,
所以⊥,⊥.,的夹角等于所求二面角的平面角,
于是cos==-,
所以所求二面角的大小为π-arccos.
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