随机过程课程设计Word格式.docx
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1.1AR(p)模型的定义1
2.问题的分析与求解2
2.1模型的识别2
2.1.1AR(p)序列的自相关函数2
2.1.2AR(p)模型的偏相关函数3
2.1.3模型阶数的确定4
2.2样本的自相关和偏相关函数4
2.3AR(p)模型的参数估计5
2.4AR(p)模型的预报6
2.5最小方差预报6
2.6AR(p)序列的预报6
3.计算程序与结果7
3.1举例:
地震震级的预测7
3.2问题分析7
3.3模型的求解与其结果7
3.3.1模型的识别程序7
3.3.2模型阶数及确定10
3.3.3样模型预报公式10
3.3.4模型预报11
4.预期结论与展望11
4.1结论11
4.2展望11
参考文献12
附录13
评阅书17
《随机过程》课程设计任务书
姓名
徐杰
学号
2010027053
指导教师
蔡吉花
设计题目
利用平稳时间序列的AR(P)模型的预报
理论要点
时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据判别时间序列模型以及怎样确定模型的参数和阶数,确定平稳时间序列模型的类型,看是否是要研究的AR(p)模型.然后运用此模型进行相关分析。
设计目标
通过课程设计,独立完成所给出的课题。
通过课题的理论设计和在计算机中实验调试代码,加深计算理论知识的理解,培养计算软件开发的实践技能,提高分析解决具体问题的能力。
研究方法步骤
①获取被观测系统时间序列数据。
②根据数据作相关图,进行相关分析,求自相关函数和偏相关函数。
③判断该数据符合AR(p)模型,最后由参数估计求出AR(p)模型,并进行预报。
预期结果
由已知的一组平稳时间序列的数据,编写matlab程序求出自相关函数和偏相关函数,并且画图判别平稳时间序列符合AR(p)模型,由参数估计求出AR(p)模型.
计划与进步的安排
课程安排一周,分4次完成:
第一次(1天):
审题并查找相关资料
第二次(2-3天):
对相关资料进行整理和分析
第三次(4-6天):
编写程序进行求解并撰写论文
第四次(7天):
对论文进行整体检查和排版
参考资料
[1]张善文,雷英杰,冯有前.MATLAB在时间序列分析中的应用.西安电子科技大学出版社.2007.4
[2]刘次华.随机过程.华中科技大学出版社.2008.8
[3]MATLAB基础及数学软件阳明盛熊西文林建华大连理工大学出版社2003
填写时间
摘要
在人们的社会活动和科学实验中,经常会碰到按照一定的顺序观察的到的数据,如股票市场的每日波动,气象变化,某工厂装船货物数量的月度序列,公路事故的周度序列,某化工生产按小时观测的产量,等等,且这些数据之间具有相依性。
人们要根据这些数据进行观察、研究,寻找它的变化发展规律来拟合某种最优的数学模型,用以预测未来的发展趋势。
平稳时间序列在自然科学、工程技术及社会、经济学的建模分析中起着非常重要的作用,平稳时间序列的AR(p)模型的主要分析方法是:
通过分析平稳时间序列的统计规律,构造拟合它的最佳线性模型,利用模型预报时间序列的未来取值,或用来进行分析和控制。
本文主要研究自回归模型(线性模型),首先对AR(p)模型的理论作相关分析,包括模型的识别、模型的定阶方法、求样本的自(或偏)相关函数、模型的参数估计以及模型的预报。
再通过引例,用Matlab程序对四川地震震级数据进行分析,先将已知数据标准化,然后求出其变自相关函数和偏相关函数,再画出图像,根据图像判别相关函数的拖尾、截尾性,最后确定一个具体的AR(p)模型。
然后确定阶数P,再用矩估计法求出其参数估计值,最后确定AR(p)模型的预报式子,对四川地震震级进行预报,根据所给的数据,对下个时段震级的大小进行预测。
关键字:
自相关函数,偏相关函数,AR(p)模型,平稳时间序列,地震预报
1.基本原理
对于一个平稳时间序列预测问题,首先考虑的是寻求与它拟合最好的预测模型。
而模型的识别与阶数的确定则是选择模型的关键。
本节我们主要研究的是AR(p)模型预报,所以我们得对AR(p)序列作相关分析,讨论其理论自相关函数和偏相关函数所具有的特性,从而找到识别模型的方法。
1.1AR(P)模型的定义
设{}为零均值的实平稳时间序列,阶数为p的自回归模型定义为
,(1.1)
其中=,=0,s>
t.
模型(1.1)简记为AR(p).它是一个动态模型,是时间序列{}自身回归的表达式,所以称自回归模型。
满足AR(p)模型的随机序列称为AR(p)序列,其中{,k=1,2,...,p}称为自回归系数。
从白噪声序列所满足的条件看出,之间互不相关,且与以前的观测值也不相关,亦称为新信息序列,在时间序列分析的预报理论中有重要作用。
AR(p)模型的三个限制条件:
条件一:
。
这个限制条件保证了模型的最高阶数为p.
条件二:
=,这个限制条件实际上是要求随机干扰序列为零均值白噪声序列。
条件三:
这个限制条件说明当期的随机干扰与过去的序列值无关。
为了方便起见,引进延迟算子概念。
令
.
一般有,称B为一步延迟算子,为k步延迟算子。
于是,式子(1.1)可以写成
,(1.2)
其中.(1.3)
对于(1.2)式的AR(p)模型,若满足条件:
的根全在单位圆外,即所有根的模都大于1,则称此条件为AR(p)模型的平稳性条件.当模型(1.2)满足平稳性条件时,存在且一般是B的幂级数,于是(1.1)式又可以写成是,称为逆转形式.模型(1.2)可以看做是把相关的变为一个互不相关的的系统。
2.问题的分析和求解
2.1模型的识别
2.1.1AR(p)序列的自相关函数
对于零均值的时间序列,因为
此时的,所以,即自相关函数与协方差函数相同,记协方差函数为,用除得标准自相关函数=/,简称它为自相关函数。
所以AR(p)序列的自相关函数计算如下:
用乘模型(1.11)两边,再取均值,得
,k>
0,
除以可得
,(2.1)
即,k>
0.
令(1.21)式的k=1,2,...,p,得,
写成矩阵为
=(2.2)
(2.2)式称为AR(p)序列的自相关函数。
AR(p)序列的自相关函数不能在某步之后截尾,而是随k增大逐渐衰减,但受负指数函数控制.这种特性称为托尾性。
2.1.2AR(p)模型的偏相关函数
从概率论可知,在给定随机变量W的条件下,随机变量U与V的联合条件密度函数为f(u,v︱w),则U与V的偏相关函数定义为,类似地,在零均值平稳时间序列中,给定与之间的偏相关函数定义为(2.3)
设是零均值的平稳序列,它满足AR(k)模型,即
用乘上两边,当给定时,取条件期望得
=
因为k﹥0时,,且有
故,k=1,2,...(2.4)
根据(12.3)式,显然即为AR(p)序列的偏相关函数,同时它又是AR(k)模型的最后一个自回归系数。
为了探讨AR(p)序列的偏相关函数的特性,考虑对的最小方差估计,即要求确定,使min
根据AR(p)模型定义,有
=
+
因为=0(j﹥0),故
显然,要使,应取
,
这说明AR(p)序列有且由(2.4)式,即为偏相关函数。
当k>p时,有=0,换句话说,AR(p)序列的偏相关函数为,0,...,0,即偏相关函数在k步截尾,其截尾的k值就是模型的阶数。
这是AR(p)序列具有的本质特性。
2.1.3模型阶数的确定
模型的识别,是根据理论自相关函数或偏相关函数是否截尾来判断的。
但是,在实际中,人们所获得的观测数据只是一个有限长度N的样本值由它们算出的样本自相关函数和样本偏相关函数只是和的估计值。
由于样本的随机性,其估计总可能有误差。
对于AR(p)序列,当k﹥p时,可能不会全为零,而是在零附近波动。
以下我们讨论的是如何用样本自相关函数和样本偏相关函数来推断模型的阶。
2.2样本自相关函数和样本偏相关函数
设有零均值平稳时间序列的一段样本观测值样本协方差函数定义为,k=0,1,...,N-1
易知,是的无偏估计,但不一定是非负定的,故常用如下估计式代替:
k=0,1,...,N-1(2.5)
同理样本自相关函数定义为
,k=0,1,...,N-1(2.6)
(2.5)式是的有偏估计,但是非负定的。
事实上,设当t﹥N或t≦0时,,对于任意的m个实数有
=≧0.
实际问题中,N一般取得较大(不少于50),故(2.5)式看做是渐近无偏的。
由于(2.5)式的估计误差随k增大而增大,一般取k﹤N/4(常取k=N/10左右)
由(2.6)式计算得后,代入(2.5)式即得的值。
2.3AR(p)模型的参数估计
设的拟合模型为
此时要估计的参数为和,将Yule-Walker方程写成矩阵形式:
则
将各参数换成它们的估计,可得=(2.7)
=-=(2.8)
(2.7)和(2.8)式是AR(p)模型全部参数的估计公式。
2.4AR(p)模型的预报
根据时间观测数据,建立一个与实际问题相适应的模型后,就可以利用过去和现在的观测值,对该序列未来时刻的取值进行估计,即预报。
2.5最小方差预报
设是零均值平稳序列,并假定它是正态的,令表示用时刻t及t之前的全部观测数据,即的取值对未来时刻的的取值所作的预报。
现在的问题是,要找出一个如下形式的线性函数
使预报的均方误差=(4.11)
这样的称为的线性最小方差预报。
2.6AR(p)序列的预报
若为AR(p)序列,AR(p)序列的最佳预报递推公式为
由此可见,()仅仅依赖于的N时刻以及以前时刻的p个值。
这就是说,只要知道这p个时刻的观测值,无需掌握更多的历史资料就可以根据上述公式求得任意步的最优预报。
因此AR(p)模型的预报计算简单,正因为AR建模与AR预报的简单性,它成为预报问题中应用最为广泛的时序模型。
3.计算程序与结果
3.1举例:
地震震级的预测
以下采用的数据是1970年1月1日至1982年12月31日期间的实测的四川地区的地震震级(见表1,平均每15天进行1次测量,共有323个数据)。
本文将利用表中的数据建立该地地震等级的随机线性模型,并对下几个时段的震级进行预测。
表格11970年1月1日到1982年12月31日期间四川地区的地震震级实测值
4.4
6.2
4.7
4.8
5.4
4.2
4.1
4.0
5.5
4.3
4.6
5.9
5.7
5.0
4.9
5.2
5.6
7.9
6.0
6.5
3.8
3.9
5.8
4.5
3.6
4.
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- 随机 过程 课程设计