届安徽省黄山市高三第三次质量检测理科数学试题文档格式.docx
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届安徽省黄山市高三第三次质量检测理科数学试题文档格式.docx
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8.当a=dx时,二项式(x2﹣)6展开式中的x3项的系数为( )
A.﹣20B.20C.﹣160D.160
9.设△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列,且公比为q,则q+的取值范围是( )
A.(0,+∞)B.(0,+1)C.(﹣1,+∞)D.(﹣1,+1)
10.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面或体内任取一点M,若•≥1,则动点M所构成的几何体的体积为( )
A.4B.6C.7D.8
二、填空题
11.在样本频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其它10个长方形面积和的,且样本容量为180,则中间一组的频数为 _________ .
12.设△ABC中,acosC,bcosB,ccosA成等差数列,则∠B= _________ .
13.若函数f(x)=﹣1+log(n+1)(x+1)经过的定点(与m无关)恰为抛物线y=ax2的焦点,则a= _________ .
14.幂函数y=xa,当a取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图),设点A(1,0)、B(0,1),若y=xα,y=xβ的图象与线段AB分别交于M、N,且=,则4α+β的最小值为 _________ .
15.在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中,底面ABCD为正方形,侧棱AA′⊥底面A′B′C′D′,AB=2,AA′=4,给出下面五个命题:
①该四棱柱的外接球的表面积为24π;
②在该四棱柱的12条棱中,与直线B′D异面的棱一共有4条;
③用过点A′、C′的平面去截该四棱柱,且截面为四边形,则截面四边形中至少有一组对边平行;
④用过点A′、C′的平面去截该四棱柱,且截面为梯形,则梯形两腰所在直线的交点一定在直线DD′上;
⑤若截面为四边形A′C′NM,且M、N分别为棱AD、CD的中点,则截面面积为.
其中所有是真命题的序号为 _________ .
三、解答题
16.(12分)数列{an}满足a1=3,且2,,n+3成等比数列.
(Ⅰ)求a2,a3,a4以及数列{an}的通项公式an(要求写出推导过程);
(Ⅱ)令Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…a2na2n+1,求Tn.
17.(12分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:
x
x1
x2
x3
ωx+φ
π
2π
Asin(ωx+φ)
﹣
(Ⅰ)请求出上表中的x1,x2,x3,并直接写出函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)将f(x)的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g(x),若函数g(x)在x∈[0,m](其中m∈(2,4)上的值域为[﹣,],且此时其图象的最高点和最低点分别为P、Q,求与夹角θ的大小.
18.(12分)某学校为响应省政府号召,每学期派老师到各个民工子弟学校支教,以下是该学校50名老师上学期在某一个民工子弟学校支教的次数统计结果:
支教次数
1
2
3
人数
5
10
20
15
根据上表信息解答以下问题:
(1)从该学校任选两名老师,用η表示这两人支教次数之和,记“函数f(x)=x2﹣ηx﹣1在区间(4,5)上有且只有一个零点”为事件A,求事件A发生的概率P1;
(2)从该学校任选两名老师,用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.
19.(13分)如图
(1),在四棱锥E﹣ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BE=BC,AE⊥BE,点M为CE上一点,且BM⊥平面ACE.
(Ⅰ)求证:
AE⊥BC;
(Ⅱ)若点N为线段AB的中点,求证:
MN∥平面ADE;
(Ⅲ)若BE=4,CE=4,且二面角A﹣BC﹣E的大小为45°
,如图
(2),试问棱DE上是否存在一点P,使得BP与平面ABE所成的角为30°
?
若存在,求PE的长度;
若不存在,说明理由.
20.(13分)已知椭圆C:
+y2=1,圆O:
x2+y2=4上一点A(0,2).
(Ⅰ)过点A作两条直线l1、l2都与椭圆C相切,求直线l1、l2的方程并判断其位置关系;
(Ⅱ)有同学经过探究后认为:
过圆O上任间一点P作椭圆C的两条切线l1、l2,则直线l1、l2始终相互垂直,请问这位同学的观点正确吗?
证明你的结论.
21.(13分)已知函数f(x)=﹣x3+x2+bx,g(x)=alnx+x(a≠0)
(1)若函数f(x)存在极值点,求实数b的取值范围;
(2)求函数g(x)的单调区间;
(3)当b=0且a>0时,令,P(x1,F(x1)),Q(x2,F(x2))为曲线y=F(x)上的两动点,O为坐标原点,能否使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y轴上?
请说明理由.
18.解:
(1)函数f(x)=x2﹣ηx﹣1过(0,﹣1)点,在区间(4,5)上有且只有一个零点,
则必有,即:
,解得:
,
∵∈N*,∴η=4.(3分)
当η=4时,P1==.(6分)
(2)从该学校任选两名老师,用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值,
则ξ的可能取值分别是0,1,2,3,(7分)
P(ξ=0)==,
P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,(10分)
从而ξ的分布列:
ξ0123
P
ξ的数学期望:
Eξ==.…(12分)
19.
(1)证明:
∵BM⊥面ACE,AE⊂面ACE,∴BM⊥AE
∵AE⊥BE,BM∩BE=B
∴AE⊥面BCE
∵BC⊂面BCE
∴AE⊥BC;
(2)解:
取DE中点P,连接PM,AP
∵BC=BE,BM⊥AE
∴M为CE的中点
∴MP∥DC∥AN
∴AMNP为平行四边形
∴MN∥AP
∵MN⊄面ADE,AP⊂面ADE
∴MN∥面ADE
(3)解:
由BE=BC=4,CE=4得BC⊥BE
∵BC⊥AE,AE∩BE=E
∴BC⊥面ABE
∴∠ABE为二面角A﹣BC﹣E的平面角.
∴∠ABE=45°
∴AE=BE=4.
设存在满足题意的点P,作PQ⊥AE于Q,则∠PBQ是BP与平面ABE所成的角.
设QE=x,由于△ADE为等腰三角形,则[Q=x,PE=x,
在直角△BQE中,BQ=,在直角△PQB中,tan30°
==,
∴x=2,故当PE=4时,BP与平面ABE所成的角为30°
.
20.解:
(Ⅰ)设切线方程为y=kx+2,代入椭圆方程并化简,
得:
(1+3k2)x2+12kx+9=0,
由于直线与椭圆相切,
∴△=144k2﹣36(1+3k2)=0,
解得k1=1,k2=﹣1,
∴两切线方程分别为y=x+2,或y=﹣x+2,
∵k1k2=﹣1,∴l1⊥l2.
(Ⅱ)这位同学的观点正确,即直线l1、l2始终相互垂直.
证明如下:
(i)当过点P与椭圆C:
相切的一条切线的斜率不存在时,
此时切线方程为x=,
∵点P在圆O:
x2+y2=4上,则P(±
3,±
1),
∴直线y=±
1恰好为过点P与椭圆相切的另一条切线,于是两切线l1,l2互相垂直.
(ii)当过点P(m,n)与椭圆C相切的切线的斜率存在时,
设切线方程为y﹣n=k(x﹣m),
由,
得(1+3k2)x2+6k(n﹣mk)x+3(n﹣mk)2﹣3=0,
∴△=36k2(n﹣mk)2﹣4(1+3k2)[3(n﹣mk)2﹣3]=0,
整理,得(m2﹣3)k2﹣2mnk+(n2﹣1)=0,
∴,
∵P(m,n)在圆x2+y2=4上,∴m2+n2=4,
∴m2﹣3=1﹣n2,
∴k1k2=﹣1,∴两直线互相垂直.
综上所述,直线l1、l2始终相互垂直.
21.解:
(Ⅰ)f'
(x)=﹣3x2+2x+b,若f(x)存在极值点,
则f'
(x)=﹣3x2+2x+b=0有两个不相等实数根.所以△=4+12b>0,
解得
(Ⅱ)
当a>0时,﹣a<0,函数g(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当a<0时,﹣a>0,函数g(x)的单调递减区间为(0,﹣a),单调递增区间为(﹣a,+∞).
(Ⅲ)当b=0且a>0时,
假设使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y轴上.
则且x1+x2=0.
不妨设x1=t>0.故P(t,F(t)),则Q(﹣t,t3+t2).
,(*)该方程有解
当0<t<1时,F(t)=﹣t3+t2,代入方程(*)
得﹣t2+(﹣t3+t2)(t3+t2)=0
即t4﹣t2+1=0,而此方程无实数解;
当t=1时,则;
当t>1时,F(t)=alnt,代入方程(*)得﹣t2+alnt(t3+t2)=0
即,
设h(x)=(x+1)lnx(x≥1),
则在[1,+∞)上恒成立.
∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,
从而h(x)≥h
(1)=0,则值域为[0,+∞).
∴当a>0时,方程有解,即方程(*)有解.
综上所述,对任意给定的正实数a,曲线上总存在P,Q两点,
使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y轴上.
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