数学竞赛单元训练题高中排列组合Word文档格式.docx
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B.
C.
D.
4.在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共27个点中,不共线的三点组的个数是( )
A.2898 B.2877 C.2876 D.2872
5.有两个同心圆,在外圆上有相异的6个点,内圆上有相异的3个点.由这9个点所确定的直线最少可有( )
A.15条 B.21条 C.36条 D.3条
6.已知两个实数集A={a1,a2,…,a60}与B={b1,b2,…,b25}.若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象,且f(a1)≥f(a2)≥…≥f(a60).则这样的映射共有( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7.4410共有__________个不同的正约数.
8.有7个人站成一排,其中A、B不能相邻,C、D必须挨在一起,且C要求在A的右侧.则共有站队方法数是____________.
9.如图,两圆相交于A、B两点,在两圆周上另有六点C、D、E、F、G、H,其中仅E、B、G共线,其他无三点共线.这八点最多可以确定不同圆的个数是__________.
10.一个圆周上有5个红点,7个白点,要求任两个红点不得相邻.那么共有_________种排列方法.
11.平面上给定5点,这些点两两间的连线互不平行,又不垂直,也不重合.现从任一点向其余四点两两之间的连线作垂线,则所有这些垂线间的交点数最多是_____________.
12.10人有相应的10个指纹档案,每个指纹档案上都记录有相应人的指纹痕迹,并有检测指示灯和检测时的手指按扭.10人中某人把手指按在键钮上,若是他的档案,则指示灯出现绿色,否则出现红色.现在这10人把手指按在10个指纹档案的键钮上去检测,规定一个人只能在一个档案上去检测,并且两个人不能在同一个档案上去检测,这时指示灯全部出现红色.这样的情况共有__________种.
三、解答题
13.中、日围棋队各出7名队员,按事先安排好的次序出场进行围棋擂台赛,双方先由1号队员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方的2号队员比赛,……,直到有一方队员全部被淘汰为止,另一方获胜,形成一种比赛过程.现在中方只动用了5名队员,就击败了日方的所有队员.问这样的比赛过程有多少种?
14.从1到n(n≥3,且n为整数)之间任取3个不同的整数,使得这3个数的和正好被3整除.如果这样的取法有53922种,试确定n的取值.
15.集合A中有n个元素,其中有m个是特殊元素(m≤n).已知集合A的五元素子集共有68个,且每个子集中都含有至少一个特殊元素.此外,集合A的任意一个三元素子集都恰好被一个五元素子集所包含.
(1)求n的取值;
(2)请回答:
所有五元素子集中是否有至少含4个特殊元素的集合?
参考答案
一、选择题
1.可把问题转化为:
4个不同的元素,放到6个位置中,有
种方法,选C.
2.问题相当于:
把4个相同的球放入三个不同的盒中,有
种放法,故选B.
3.此题即:
3个人坐10个位置,一人只能坐一个,且两两不得相邻,有
种坐法,选C.
4.用间接法.容易求得共线的三点组共有49个,而所有的三点组共有
,所以不共线的三点组共有
(个),故选C.
5.设P1、P2、P3是内圆上三点,Q1、Q2,…,Q6分别为三条直线P1P2、P2P3、P3P1与外圆的交点,此时9个点所确定的直线最少有
(条),选B.
6.此题相当于:
用25个从大到小的数从左至右的顺序不变,去插入到a1,a2,a3,…,a60这60个数的两数空隙之间.要求最大数必在a1左侧,最小数不得在a60右侧,共有
个映射,故选B.
7.由4410=2×
32×
5×
72知:
正约数中含2的指数幂有2种,含3的指数幂有3种情况,含5的指数幂有2种情况,含7的指数幂有3种情况,而2、3、5、7均为质数,故根据分步原理共有2×
3×
2×
3=36个不同的正约数.
8.把C、D捆绑起来看作一个元素,元素A只能安放在从左至右的前5个位置中,故对A的位置分类:
若A在左起第1位,则有
(种);
若A在左起第2位,则有
若A在左起第3位,则有
若A在左起第4位,则有
若A在左起第5位,则有
(种).
所以,共有站队方法数498种.
9.过8个点可作
个圆,需减去两类:
①E、B、G共线,减去1个;
②A、B、C、D、E五点共圆及A、B、F、G、H五点共圆,减去
个,所以最多可以确定不同圆的个数是37个.
10.用插空法,共有
种排列方法.
11.用排除法.设A1、A2、…、A5为平面上给定的5个点,A2、A3、A4、A5之间两两连线有
条,从A1出发可引6条垂线,依此5个点共可引30条垂线,它们之间最多有
个交点.但应排除以下三种情况:
①从A1、A2、A3作A4A5的三条垂线互相平行,无交点,这样的情形共有
个;
②从Ai(i=1,2,3,4,5)出发的6条垂线都交于点Ai,这样的点共有
个,只能留下5个,剩余的应减去;
③Ai(i=1,2,3,4,5)中每三点构成一个三角形,三角形的三条高共点,应减去
个.
因此,满足题意的交点最多有
12.此题相当于:
10个编号为1,2,3,…,10的球放入十个编号为1,2,3,…,10的盒中,要求每个盒中只盛一球,且号码均不相同,求放法总数.
设这种情况的n个号码时,方法数为an.第一步是安排第1号球,共有n-1种方法.此时,不妨设1号球安排在了第i(i≠1)号位置.再安排第i号
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