中考数学复习专题汇编第四讲 第4课时 操作探究型问题Word格式.docx
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0.9
(2)建立平面直角坐标系,描出己补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
第1题答图
(3)结合画出的函数图象,解决问题:
当△PAN为等腰三角形时,AP的长度约为__2.2(答案不唯一)__cm.
【解析】(3)如答图,作y=x与函数图象交点即为所求.则AP≈2.2(答案不唯一).
2.(15分)[2017·
襄阳]如图4-4-2,在△ABC中,∠ACB=90°
,CD是中线,AC=BC.一个以点D为顶点的45°
角绕点D旋转,使角的两边分别与AC,BC的延长线相交,交点分别为点E,F,DF与AC交于点M,DE与BC交于点N.
图4-4-2
(1)如图①,若CE=CF,求证:
DE=DF;
(2)如图②,在∠EDF绕点D旋转的过程中:
①探究三条线段AB,CE,CF之间的数量关系,并说明理由;
②若CE=4,CF=2,求DN的长.
解:
(1)证明:
∵∠ACB=90°
,AC=BC,AD=BD,
∴∠BCD=∠ACD=45°
,∠BCE=∠ACF=90°
.
∴∠DCE=∠DCF=135°
又∵CE=CF,CD=CD,∴△DCE≌△DCF.
∴DE=DF;
(2)①∵∠DCF=∠DCE=135°
,
∴∠CDF+∠F=180°
-135°
=45°
第2题答图
又∵∠CDF+∠CDE=45°
,∴∠F=∠CDE.
∴△CDF∽△CED,∴=,即CD2=CE·
CF.
,AC=BC,AD=BD,∴CD=AB.
∴AB2=4CE·
②如答图,过点D作DG⊥BC于G,则∠DGN=∠ECN=90°
,CG=DG.
当CE=4,CF=2时,由CD2=CE·
CF,得CD=2.
∴在Rt△DCG中,CG=DG=CD·
sin∠DCG=2×
sin45°
=2.
∵∠ECN=∠DGN,∠ENC=∠DNG,∴△CEN∽△GDN.
∴==2,∴GN=CG=.
∴DN===.
3.(15分)
(1)问题发现与探究:
如图4-4-3①,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°
,点A,D,E在同一直线上,CM⊥AE于点M,连结BD,则:
①线段AE,BD之间的大小关系是__AE=BD__,∠ADB=__90°
__,并说明理由.
②求证:
AD=2CM+BD;
(2)问题拓展与应用:
如图②、图③,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°
,过点A作直线,在直线上取点D,∠ADC=45°
,连结BD,BD=1,AC=,则点C到直线的距离是____或____,写出计算过程.
图4-4-3
(1)①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,
∴AC=BC,CE=CD,∵∠ACB=∠DCE=90°
,∴∠ACE+∠ECB=∠BCD+∠ECB,∴∠ACE=∠BCD,在△ACE与△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD,∠AEC=∠BDC,∵∠CED=∠CDE=45°
,∴∠AEC=135°
,∴∠BDC=135°
∴∠ADB=90°
;
②证明:
在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边DE上的高,
∴CM=DM=ME,∴DE=2CM.∴AD=DE+AE=2CM+BD;
(2)如答图①,过点C作CH⊥AD于点H,CE⊥CD交AD于点E,则△CDE是等腰直角三角形,由
(1)知,AE=BD=1,∠ADB=90°
,∵AB=AC=2,∴AD==,∴DE=AD-AE=-1,∵△CDE是等腰直角三角形,∴CH=DE=;
如答图②,过点C作CH⊥AD于点H,CE⊥CD交AD于点E,则△CDE是等腰直角三角形,由
(1)知,AE=BD=1,∠ADB=90°
,∵AB=AC=2,∴AD==,∴DE=AE+AD=1+,∵△CDE是等腰直角三角形,∴CH=DE=.
综上,点C到直线的距离是或.
第3题答图
4.(15分)在△ABC中,AB=AC,∠A=60°
,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°
,DE与线段AB相交于点E,DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.
(1)如图4-4-4①,若DF⊥AC,垂足为F,AB=4,求BE的长;
(2)如图②,将
(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F.求证:
BE+CF=AB;
(3)如图③,将
(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与线段AC的延长线相交于点F,作DN⊥AC于点N,若DN=FN,求证:
BE+CF=(BE-CF).
图4-4-4
(1)∵AB=AC,∠A=60°
∴△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°
,BC=AC=AB=4.
∵点D是线段BC的中点,
∴BD=DC=BC=2.
∵DF⊥AC,即∠AFD=90°
∴∠AED=360°
-60°
-90°
-120°
=90°
∴∠BED=90°
,∴BE=BD·
cosB=2×
=1;
(2)证明:
如答图①,过点D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°
第4题答图①
∵∠A=60°
,∴∠MDN=360°
=120°
∵∠EDF=120°
∴∠MDE=∠NDF.
在△MBD和△NCD中,
∴△MBD≌△NCD,∴BM=CN,DM=DN.
在△EMD和△FND中,
∴△EMD≌△FND,∴EM=FN,
∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD·
cos60°
=BD=BC=AB;
(3)如答图②,过点D作DM⊥AB于M,
同
(1)可得∠B=∠ACD=60°
第4题答图②
同
(2)可得BM=CN,DM=DN,EM=FN.
∵DN=FN,∴DM=DN=FN=EM,
∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM,
BE-CF=BM+EM-CF=BM+NF-CF
=BM+NC=2BM.
在Rt△BMD中,DM=BM·
tanB=BM,
∴BE+CF=(BE-CF).
(20分)
5.(20分)[2017·
天门]在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,点D与点B在AC同侧,∠DAC>∠BAC,且DA=DC,过点B作BE∥DA交DC于点E,M为AB的中点,连结MD,ME.
(1)如图4-4-5①,当∠ADC=90°
时,线段MD与ME的数量关系是__MD=ME;
__;
图4-4-5
(2)如图②,当∠ADC=60°
时,试探究线段MD与ME的数量关系,并证明你的结论;
(3)如图③,当∠ADC=α时,求的值.
(2)MD=ME.
证明:
如答图①,延长EM交DA于点F,
∵BE∥DA,∴∠FAM=∠EBM,
又∵AM=BM,∠AMF=∠BMF,
∴△AMF≌△BME,∴AF=BE,MF=ME,
∵DA=DC,∠ADC=60°
∴∠BED=∠ADC=60°
,∠ACD=60°
,∴∠ECB=30°
∴∠EBC=30°
,∴CE=BE,∴DF=DE,∴DM⊥EF,DM平分∠ADC,
∴∠MDE=30°
在Rt△MDE中,tan∠MDE==.
∴MD=ME;
第5题答图
(3)如答图②,延长EM交DA于点F,
∵BE∥DA,∴∠FAM=EBM,
又∵AM=BM,∠AMF=∠BME,
延长BE交AC于点N,∴∠BNC=∠DAC,
∵DA=DC,∴∠DCA=∠DAC,∴∠BNC=∠DCA,
,∴∠ECB=∠EBC,
∴CE=BE,∴AF=CE,
∴DF=DE,∴DM⊥EF,DM平分∠ADC,
∵∠ADC=α,∴∠MDE=,
∴在Rt△MDE中,=tan∠MDE=tan.
图4-4-6
6.(20分)[2017·
衡阳]如图4-4-6,正方形ABCD的边长为1,点E为边AB上一动点,连结CE并将其绕点C顺时针旋转得到CF,连结DF,以CE,CF为邻边作矩形CFGE,GE与AD,AC分别交于点H,M,GF交CD延长线于点N.
点A,D,F在同一条直线上;
(2)随着点E的移动,线段DH是否有最小值?
若有,求出最小值;
若没有,请说明理由;
(3)连结EF,MN,当MN∥EF时,求AE的长.
【解析】
(1)证明三点共线,一般是证明中间点与另两点连线的夹角等于180°
.由旋转不改变图形的形状和大小,可证△CBE≌△CDF,得到∠CDF=∠CBE=90°
,所以可证∠ADF=180°
,问题得证.
(2)求AE的最值,需要建立适当的函数模型,考虑AE,AH是同一个直角三角形的边,所以设AH=y,AE=x,由图直观看出△CBE∽△EAH,利用对应边成比例,可以得出y与x的函数关系式,从而最值问题可解.
(3)连结CG,根据正方形是轴对称图形,对角线所在的直线是对称轴,EF∥MN,所以NG=GM,所以CN=CM,从而可推出∠EFD=∠ECA=∠1=∠3,所以Rt△CBE∽Rt△FAE,所以=,因此AE可求.
第6题答图
如答图①,由旋转的性质知,CF=CE,
又∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°
,∴∠1=∠3,
又∵CD=CB,∴△CBE≌△CDF,
∴∠CDF=∠CBE=90°
,∴∠ADF=180°
故点A,D,F三点共线;
(2)设DH=y,AH=1-y,AE=x,在Rt△CBE和Rt△EAH中,∠4+∠5=90°
∴Rt△CBE∽Rt△EAH,
∴=,即=,
∴y=x2-x+1=+,
即当点E是AB的中点时,DH最小,最小值为;
(3)如答图②,连结CG.∵矩形∠FGE是正方形,对角线CG所在的直线是其对称轴,
又∵FG=GE,EF∥MN,∴GN=GM,
∴CN=CM,
又∵∠CNM=45°
+∠3,∠NMC=45°
+∠ECM,
又∵∠ECM=∠EFH,∴∠3=∠EFH=∠1,
∴Rt△CBE∽Rt△FAE,∴=,
BC=1,BE=1-AE,AF=1+1-AE=2-AE,
即有=,∴AE2-4AE+2=0,
解得AE=2+>
1(不合题意,舍去),AE=2-.
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