届甘肃省高三第一次模拟考试数学理试题word版含答案Word下载.docx
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πD.1+
7.已知实数x,y满足
如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m=( )
A.6B.5C.4D.3
8.若等比数列{an}的各项均为正数,
=( )
B.
D.
9.若函数f(x)=sin
(ω>
0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为
,则f(x)的一个单调递增区间为( )
B.
10.过抛物线
(p>
0)的焦点F且倾斜角为120°
的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A,B两点,则
的值等于( )
A.
B.
C.
D.
11.若圆
上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则半径r的取值范围是( )
A.(4,6)B.[4,6]C.[4,6)D.(4,6]
12.已知g(x)是定义在R上的奇函数,且当x<
0时,g(x)=-ln(1-x),函数f(x)=
若f(2-x2)>
f(x),则x的取值范围是( )
A.(-∞,-2)∪(1,+∞)B.(-∞,1)∪(2,+∞)
C.(-2,1)D.(1,2)
二.填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知m∈R,向量a=(m,1),b=(2,-6),且a⊥b,则|a-b|=________.
14.若随机变量服从正态分布ξ~N(2,1),且P(ξ>
3)=0.1587,则P(ξ>
1)=________.
15.若
的展开式中各项系数之和为128,则展开式中
的系数是________.
16..如图所示,一个圆柱形乒乓球筒,高为20厘米,底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球,乒乓球与球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度均忽略不计).一个平面与两个乒乓球均相切,且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆,则该椭圆的离心率为________.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本题满分12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
①求C;
②若c=
,△ABC的面积为
,求△ABC的周长.
18.(本题满分12分)
某校高三共有900名学生,高三模拟考之后,为了了解学生学习情况,用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩,按成绩分组,制成如下的频率分布表:
组号
第一组
第二组
第四组
分组
[70,80)
[80,90)
[90,100)
[100,110)
频数
6
4
22
20
频率
0.06
0.04
0.22
0.20
第五组
第六组
第七组
第八组
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150]
18
a
10
5
b
0.15
0.10
0.05
(1)若频数的总和为c,试求a,b,c的值;
(2)为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态,现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生,在这6名学生中又再随机抽取2名与心理老师面谈,令第七组被抽中的学生数为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望;
(3)估计该校本次考试的数学平均分.
19.(本题满分12分)
如图,三棱锥PABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,∠ACB=
.D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=
,CE=2EB=2.
(1)证明:
DE⊥平面PCD;
(2)求二面角APDC的余弦值.
20.(本题满分12分)
已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O,离心率等于
,以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4
.直线l:
y=kx+m与y轴交于点P,与椭圆E相交于A,B两个点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若
,求m2的取值范围.
21.(本题满分12分)
设函数f(x)=
+2lnx.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)如果对所有的x≥1,都有f(x)≤ax,求a的取值范围.
选考题(请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分。
)
22.(本题满分10分)(选修4-4):
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为
(t为参数),在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ-2cosθ.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与y轴的交点为P,直线l与曲线C的交点为A,B,求|PA|·
|PB|的值.
23.(本题满分10分)(选修4-5):
不等式选讲
设f(x)=|ax-1|.
(1)若f(x)≤2的解集为[-6,2],求实数a的值;
(2)当a=2时,若存在x∈R,使得不等式f(2x+1)-f(x-1)≤7-3m成立,求实数m的取值范围.
数学(理)试题答案
1、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
7
8
9
11
12
答案
C
A
D
B
B
A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.答案:
14.答案:
0.841315.答案2116.答案
[解] ①由已知及正弦定理得
2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,
即2cosCsin(A+B)=sinC,
故2sinCcosC=sinC.
可得cosC=
,所以C=
...............................................6分
②由已知得
absinC=
.
又C=
,所以ab=6.
由已知及余弦定理得a2+b2-2abcosC=7,
故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.
所以△ABC的周长为5+
.……………………..12分
解:
(1)因为频率和为1,所以b=0.18,
又因为频率=
,所以c=100,a=15.………………4分
(2)第六、七、八组共有30个样本,用分层抽样方法抽取6名学生,则每个学生被抽中的概率均为
所以从第七组中抽取的样本数为
×
10=2.
所以随机变量ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)=
=
;
P(ξ=1)=
P(ξ=2)=
随机变量ξ的分布列为
ξ
P
所以E(ξ)=0×
+1×
+2×
.………………..10分
(3)根据频率分布表估计该校本次考试的数学平均分为75×
0.06+85×
0.04+95×
0.22+105×
0.2+115×
0.18+125×
0.15+135×
0.1+145×
0.05=110……12分
由PC⊥平面ABC,DE⊂平面ABC,
得PC⊥DE.
由CE=2,CD=DE=
,得△CDE为等腰直角三角形,
故CD⊥DE.
由PC∩CD=C,DE垂直于平面PCD内两条相交直线,
故DE⊥平面PCD.……………………6分
(2)由
(1)知,△CDE为等腰直角三角形,∠DCE=
如图,过D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=FE=1.
又已知EB=1,故FB=2.
由∠ACB=
,
得DF∥AC,
故AC=
DF=
以C为坐标原点,分别以
的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),P(0,0,3),A
,E(0,2,0),D(1,1,0),
=(1,-1,0),
=(-1,-1,3),
设平面PAD的法向量为n1=(x1,y1,z1),
由n1·
=0,n1·
=0,
得
故可取n1=(2,1,1).
由
(1)可知DE⊥平面PCD,故平面PCD的法向量n2可取为
,即n2=(1,-1,0),
从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为
cos〈n1,n2〉=
故所求二面角APDC的余弦值为
.………………………12分
(1)根据已知设椭圆E的方程为
=1(a>
b>
0),焦距为2c,
由已知得
,∴c=
a,b2=a2-c2=
∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4
∴4
=2
a=4
∴a=2,b=1.
∴椭圆E的方程为
+x2=1.…………………….4分
(2)根据已知得P(0,m),设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),
由
得,(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0.
由已知得Δ=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>
0,
即k2-m2+4>
且x1+x2=
,x1x2=
得x1=-3x2.
∴3(x1+x2)2+4x1x2=12x
-12x
=0.
∴
=0,即m2k2+m2-k2-4=0.…………..8分
当m2=1时,m2k2+m2-k2-4=0不成立,
∴k2=
∵k2-m2+4>
-m2+4>
0,即
>
0.
∴1<
m2<
4.
∴m2的取值范围为(1,4).……………………12分
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
所以当0<
x<
时,f′(x)<
0,当x>
时,f′(x)>
故函数f(x)在
上单调递减,在
上单调递增.………..4分
(2)当x≥1时,f(x)≤ax⇔a≥
令h(x)=
(x≥1),
则h′(x)=
-
令m(x)=x-xlnx-1(x≥1),则m′(x)=-lnx,
当x≥1时,m′(x)≤0,所以m(x)在[1,+∞)上为减函数,
所以m(x)≤m
(1)=0,因此h′(x)≤0,于是h(x)在[1,+∞)上为减函数,
所以当x=1时
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