高三数学一轮复习讲义 平面向量的基本定理及坐标表示教案 新人教A版Word下载.docx
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4.(x,y) 坐标 (x,y) x轴 y轴
②设=xi+yj,则向量的坐标(x,y)就是________的坐标,即若=(x,y),则A点坐标为__________,反之亦成立.(O是坐标原点)
②终点A (x,y)
注意:
要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向也有大小的信息.
5.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)和实数λ,那么a+b=________________________,
a-b=________________________,λa=________________.|a|=____________.
(x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (λx1,λy1)
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
已知A(),B(),则=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1),
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标.
||=______________.
(2)终点 始点
6.若a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),则a∥b的充要条件是________________________.
x1y2-x2y1=0
.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能表示成
=,因为x2,y2有可能等于0,所以应表示为x1y2-x2y1=0.同时,a∥b的充要条件也不能错记为x1x2-y1y2=0,x1y1-x2y2=0等.
7.
(1)P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1P2的中点P的坐标为_____________________.
(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),则△P1P2P3的重心P的坐标为_______________.
7.
(1)
(2)
点评:
1.基底的不唯一性
只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1,e2线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的.
2.向量坐标与点的坐标的区别
在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量=a,点A的位置被向量a唯一确定,此时点A的坐标与a的坐标统一为(x,y),但应注意其表示形式的区别,如点A(x,y),向量a==(x,y).
当平面向量平行移动到时,向量不变即==(x,y),但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化.
基础检测
1.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b=__________.(7,3)
2.在▱ABCD中,AC为一条对角线,=(2,4),=(1,3),则向量的坐标为____.(-3,-5)
3.已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b与b平行,则k=________.0
4.在平面坐标系内,已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0).给出下面的结论:
①直线OC与直线BA平行;
②+=;
③+=;
④=-2.
其中正确结论的个数是( C )
A.1B.2C.3D.4
5.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c等于( B )
A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b
6.若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
A [由x=4知|a|==5;
由|a|==5,得x=4或x=-4.故“x=4”是“|a|=5”的充分而不必要条件.]
7.设a=,b=,且a∥b,则锐角α为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
B [∵a∥b,∴×
-sinαcosα=0,
∴sin2α=1,2α=90°
,α=45°
.]
8.已知向量a=(6,-4),b(0,2),=c=a+λb,若C点在函数y=sinx的图象上,则实数λ等于( )
A.B.C.-D.-
A [c=a+λb=(6,-4+2λ),代入y=sinx得,
-4+2λ=sin=1,解得λ=.]
9.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m=________.
解析 a+b=(1,m-1),由(a+b)∥c,
得1×
2-(m-1)×
(-1)=0,所以m=-1.
10.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°
.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动,
若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值是______.
解析 建立如图所示的坐标系,
则A(1,0),B(cos120°
,sin120°
),
即B(-,).
设=,则=(cosα,sinα).
∵=x+y
=(x,0)+=(cosα,sinα).
∴ ∴
∴x+y=sinα+cosα=2sin(α+30°
).
∵0°
≤α≤120°
,∴30°
≤α+30°
≤150°
.
∴x+y有最大值2,当α=60°
时取最大值.
探究点一 平面向量基本定理的应用
例1如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为
DC,BC的中点,已知=c,=d,试用c,d
表示,.
解 方法一 设=a,=b,则a=+=d+,①
b=+=c+.②
将②代入①得
a=d+
∴a=d-c=(2d-c),代入②
得b=c+×
(2d-c)=(2c-d).
∴=(2d-c),=(2c-d).
方法二 设=a,=b.
因M,N分别为CD,BC的中点,所以=b,=a,
因而⇒,
即=(2d-c),=(2c-d).
变式训练1
(1)如图,平面内有三个向量、、,其中与的夹角为120°
,与的夹角为30°
,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ、μ∈R),则λ+μ的值为________.
解析如右图,=+
=λ+μ
在△OCD中,∠COD=30°
,∠OCD=∠COB=90°
,
可求||=4,同理可求||=2,
∴λ=4,μ=2,λ+μ=6.
(2)在△ABC中,=,DE∥BC,与边
AC相交于点E,△ABC的中线AM与DE相交于点N,
如图,设=a,=b,试用a和b表示.
解 ∵=,DE∥BC,M为BC中点,
∴===(b-a).
探究点二 平面向量的坐标运算
例2 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b,
(1)求3a+b-3c;
(2)求M、N的坐标及向量的坐标.
解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)设O为坐标原点,∵=-=3c,
∴=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).
∴M(0,20).又∵=-=-2b,
∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),∴N(9,2).∴=(9,-18).
变式训练2
(1)已知点A(1,-2),若向量|与a=(2,3)同向,||=2,则点B的坐标为________.
解析 ∵向量与a同向,
∴设=(2t,3t)(t>
0).
由||=2,∴4t2+9t2=4×
13.∴t2=4.
∵t>
0,∴t=2.∴=(4,6).
设B为(x,y),∴ ∴(5,4)
(2)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),求第四个顶点的坐标.
解 如图所示,设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),D(x,y).
(1)若四边形ABCD1为平行四边形,则=,
而=(x+1,y),=(-2,-5).
由=,得
∴∴D1(-3,-5).
(2)若四边形ACD2B为平行四边形,则=2.
而=(4,0),2=(x-1,y+5).
∴∴∴D2(5,-5).
(3)若四边形ACBD3为平行四边形,则3=.
而3=(x+1,y),=(2,5),
∴∴∴D3(1,5).
综上所述,平行四边形第四个顶点的坐标为(-3,-5)或(5,-5)或(1,5).
探究点三 在向量平行下求参数问题
例3 已知平面内三个向量:
a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求满足a=mb+nc的实数m、n;
(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.
(3)若d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=,求d.
解
(1)∵a=mb+nc,m,n∈R,
∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
∴ 解之得
(2)∵(a+kc)∥(2b-a),
且a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
∴(3+4k)×
2-(-5)×
(2+k)=0,
∴k=-.
(3)设d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
由题意得,解得或,
∴d=(3,-1)或d=(5,3).
变式训练3
(1)已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,则k=________.
解析 ∵a-c=(3,1)-(k,7)=(3-k,-6),
且(a-c)∥b,∴=,∴k=5.
(2)已知a=(1,0),b=(2,1).
求|a+3b|;
当k为何实数时,ka-b与a+3b平行,平行时它们是同向还是反向?
解 因为a=(1,0),b=(2,1),所以a+3b=(7,3),
∴|a+3b|==.
ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3),
因为ka-b与a+3b平行,
所以3(k-2)+7=0,即k=-.
此时ka-b=(k-2,-1)=,
a+3b=(7,3),则a+3b=-3(ka-b),
即此时向量a+3b与ka-b方向相反.
(
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