插值方法综述报告Word格式文档下载.doc
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Hermite插值函数可通过待定系数法、余项校正法、基函数法这三种方法构造。
分段插值是将插值函数逐段多项式化,选取分段多项式最为插值函数。
最后样条插值是指选取样条函数作为插值函数,是一种改进的分段插值,具有光滑性和间断性。
2Newton插值方法
Newton插值方法与我们教材中的Aitken逐步插值相似,它们都是对Lagrange插值方法的改进,克服了Lagrange插值在增加插值节点后,必须重新计算所有的插值基函数的缺点。
首先我们设通过n+1个点的n次插值多项式为
(2-1)
其中,为待定系数,由插值条件
可得:
当时,
当时,,推得
依次递推,可得。
为了给出系数的一般表达式,下面引进差商的概念。
2.1差商的定义和性质
定义设在点处的取值分别为,称
为函数在处的一阶差商,并记为;
一般地,将
(2-2)
称为在处的阶差商。
差商的计算可列表进行(见表1-1)
表2-1差商表
一阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
性质1在处的阶差商可以表示为函数值,的线性组合,形如
(2-3)
其中,。
性质2差商具有对称性,即在中任意改变节点的次序,其值不变。
性质3对于次多项式的阶差商,当时,是次多项式,而当时,其值恒等于零。
2.2Newton插值公式
设在处,函数的取值分别为和,由差商的定义
从而有
类似地,由各阶差商的定义,可以依次得到
……
(2-4)
对式(2-4)的第二式两边同乘,第三式两边同乘,……,依此类推,将最后一式两边同乘。
然后将上面分别乘过不同因式后所有n+1个等式两边相加,整理得
(2-5)
记
(2-6)
(2-7)
则
(2-8)
称为n次Newton插值多项式,为相应的截断误差。
显然,是不超过n次的多项式,若能验证满足插值条件
(2-9)
则通过n+1个点的插值多项式就可按式(2-6)进行构造。
而要验证插值条件式(2-9),只需证明即可。
事实上,设是任意一个不超过n次的多项式,将按式(2-5)展开,则由差商性质3可知其截断误差为零,即
(2-10)
现取在节点的Lagrange插值多项式作为式(2-10)中的,则也可表示成
(2-11)
又由于
所以式(2-11)中在各节点处的各阶差商值等于在这些节点处相应的各阶差商值,故
(2-12)
即确实满足插值条件式(2-9)。
Newton插值公式的优点是:
但增加一个节点时,即增加一次插值多项式的次数时,只要在增加一项就行了,且有递推关系式
(2-13)
其中,是增加的节点。
这时截断误差为
其中,介于之间。
对于节点的n次插值多项式,分别用Lagrange插值方法和Newton插值方法,则可分别表示为
和
结合式(2-12),两个插值多项式的余项也应相等,即有
因此可以得到差商的另一个重要性质:
性质4
(2-14)
其中,介于的最小值和最大值之间。
2.3Newton插值的算法
步1计算、、、…、
步2计算Newton插值多项式中,,得到n各多项式
步3将得到的n个多项式相加,得到牛顿插值多项式
步4利用所得到的插值多项式,估算取其它值时的值
2.4实际算例
已知在点=2,2.1,2.2的值,试作二次Newton插值多项式。
若增加一个点=2.3,再求三次Newton插值多项式。
2.0
2.1
2.2
2.3
1.414214
1.449138
1.483240
1.516575
0.34924
0.34102
0.33335
-0.04110
-0.03835
0.009167
故二次Newton插值多项式是:
三次Newton插值多项式是:
由此可见,当增加一个节点时,即增加一次插值多项式次数时,Newton插值多项式只要增加一项即可。
当插值节点个数相对较多时,我们可以用Matlab编程求解。
如下:
已知在2.0~2.5段上各点的值如下表,试求Newton插值多项式。
2.4
2.5
2.6
1.549193
1.581138
1.612452
1)在编辑窗口建立一个M文件Newton.m
输入:
function[p2,z]=Newton(x,y,t)
%输入参数中x,y为已知插值点的坐标,t为插值点
%输出参数中p2为所求得的牛顿插值多项式,z为利用多项式所得的各插值点t的函数值。
n=length(x);
P
(1)=y
(1);
fori=2:
n
x1=x;
y1=y;
x1(i+1:
n)=[];
y1(i+1:
n1=length(x1);
s1=0;
forj=1:
n1
t1=1;
fork=1:
ifk==j
continue;
else
t1=t1*(x1(j)-x1(k));
end
end
s1=s1+y1(j)/t1;
end
P(i)=s1;
end
b(1,:
)=[zeros(1,n-1)P
(1)];
cl=cell(1,n-1);
n
u1=1;
i-1
u1=conv(u1,[1-x(j)]);
cl{i-1}=u1;
cl{i-1}=P(i)*cl{i-1};
b(i,:
)=[zeros(1,n-i),cl{i-1}];
end
p2=b(1,:
);
forj=2:
p2=p2+b(j,:
end
iflength(t)==1
m=0;
fori=1:
n
m=m+p2(i)*t^(n-i);
end
z=m;
else
k1=length(t);
m=zeros(1,k1);
k1
fori=1:
m(j)=m(j)+p2(i)*t(j)^(n-i);
end
z=m;
plot(t,z,'
y'
x,y,'
*r'
)
2)在工作窗口写主程序:
x=[2.02.12.22.32.42.52.6];
y=[1.4142141.4491381.4832401.5165751.5491931.5811381.612452];
t=2.0:
0.05:
2.6;
[u,v]=newTon(x,y,t)
3)运算结果为
u=
0.0069-0.09460.5338-1.58982.5831-1.75051.3421
v=
Columns1through11
1.41421.43181.44911.46631.48321.5000
1.51661.53301.54921.56521.5811
Columns12through13
1.59691.6125
故其Newton插值多项式为
4)用Matlab作出其图像
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