第3讲 渐近线问题解析版Word格式.docx
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A.B.C.D.
【答案】A
【分析】
画出草图,求出双曲线的渐近线方程,若双曲线与直线有交点,则应满足,结合,可得e的范围.
如图所示,
双曲线的渐近线方程为,
若双曲线(,)与直线有交点,则有,
,即,解得,得.
双曲线离心率的取值范围为.
故选:
A
【点晴】
直线与双曲线相交等问题,常用数形结合的方法来考虑.
3.(2021·
全国高三专题练习(文))设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,过F2作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为H,若|HF1|=3|HF2|,则双曲线的离心率为()
【答案】D
由题设条件推导出,,可得的坐标,由两点间的距离公式得,计算求出离心率.
由题设知双曲线C:
的一条渐近线方程为:
,
∵右焦点,且,
∴,
∴,由,解得,
∴,∴,
平方化简得,
又,
∴,即,
,即,
所以,故得,
D.
4.(2019·
全国高二专题练习(理))已知为双曲线的右焦点,过点向的一条渐近线引垂线,垂足为,交另一条渐近线于点,为坐标原点.若,则的渐近线方程为
A.B.
C.D.
【解析】
由双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式,可求得,再分别求得,根据勾股定理,求得和的关系,即可求得双曲线的渐近线方程.
由过点向的一条渐近线引垂线,垂足为,双曲线的渐近线方程为,
则点到渐近线的距离为,即,
则,
又由,所以为等腰三角形,则为的中点,所以,
在直角中,则,即,
整理得,解得,
又由,则,即,
所以双曲线的渐近线方程为,故选A.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用,其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质,结合图象,根据勾股定理合理列出关于的关系式是解答的关键,着重考查了数形结合思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.
5.(2019·
安徽宿州市·
高二期中(文))过双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线,垂足为A,与另一条渐近线相交于点B,若=2,则此双曲线的离心率为( )
A.B.2C.D.
【答案】B
先由2,得出A为线段FB的中点,再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数,找到a,b之间的等量关系,进而求出双曲线的离心率.
如图过F作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为A,延长FA与另一条渐近线交于点B.所以FB⊥OA,又因为2,所以A为线段FB的中点,∴∠2=∠4,又∠1=∠3,
∠2+∠3=90°
,所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3.
故∠2+∠3=90°
=3∠2⇒∠2=30°
⇒∠1=60°
⇒.
∴,e2=4⇒e=2.
B.
本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查,是考查基本知识,属于基础题.
6.(2018·
江西九江市·
九江一中高二月考(理))F是双曲线1(a>0,b>0)的左焦点,过点F作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为A,交另一条渐近线于点B.若3,则此双曲线的离心率为( )
A.2B.3C.D.
由题意得右焦点F(c,0),设一渐近线OA的方程为yx,则另一渐近线OB的方程为yx,由垂直的条件可得FA的方程,代入渐近线方程,可得A,B的横坐标,由向量共线的坐标表示,结合离心率公式,解方程可得.
由题意得右焦点F(c,0),
设一渐近线OA的方程为yx,
则另一渐近线OB的方程为yx,
由FA的方程为y(x+c),联立方程yx,
可得A的横坐标为,
可得B的横坐标为.
由3,
可得3(c)c,
即为2c,
由e,可得2,
即有e4﹣4e2+3=0,解得e2=3或1(舍去),
即为e.
D.
本题主要考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,同时考查向量的共线的坐标表示,求得点A、B的横坐标是解题的关键.
7.(2020·
安徽高三二模(理))已知点是双曲线上一点,若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为,则双曲线的离心率为()
A.B.C.D.2
设点的坐标为,代入椭圆方程可得,然后分别求出点到两条渐近线的距离,由距离之积为,并结合,可得到的齐次方程,进而可求出离心率的值.
设点的坐标为,有,得.
双曲线的两条渐近线方程为和,则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为,
所以,则,即,故,即,所以.
A.
本题考查双曲线的离心率,构造的齐次方程是解决本题的关键,属于中档题.
8.(2020·
湖北高三二模(文))已知椭圆和双曲线,点P是椭圆上任意一点,且点P到双曲线的两条渐近线的距离的平方和为定值,则双曲线的离心率为()
根据题意,设P点坐标为,满足椭圆方程,得,再根据双曲线方恒列出渐近线方程,表达点P到双曲线的两条渐近线的距离的平方和为使之为定点则系数为零,再计算离心率.
设,则有,即
双曲线的两渐近线方程为,
则有
依题意,要使得该式子为定值,则的值与无关,
则必须,则
.
故选:
本题考查双曲线方程渐近线方程,考查离心率问题,属于中等题型.
9.(2020·
广东汕头市·
金山中学高二月考)已知双曲线C:
(,)的左右焦点分别为,,A为双曲线的左顶点,以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P,Q两点,且,则该双曲线的离心率为()
先由题意,得到以为直径的圆的方程为,不妨设双曲线的渐近线为,设,则,求出点P,Q的坐标,得出,,根据,再利用余弦定理求出,之间的关系,即可得出双曲线的离心率.
由题意,以为直径的圆的方程为,不妨设双曲线的渐近线为.
设,则,
由,解得或,
∴,.
又为双曲线的左顶点,则,
∴,,,
在中,,由余弦定理得,
即,
则,所以,则,
即,所以
∴.
本题主要考查求双曲线的离心率,熟记双曲线的简单性质即可,属于常考题型.
10.(2020·
河北唐山市·
(文))已知是双曲线:
的右焦点,是的渐近线上一点,且轴,过作直线的平行线交的渐近线于点(为坐标原点),若,则双曲线的离心率是()
A.2B.C.D.
设,根据轴,可得,再根据直线的方程联立渐近线方程可得,再利用求解出关于的方程,化简求得离心率即可.
设,因为轴,故.又直线:
联立直线:
可得,.
又,故,即.
化简可得,故.
故离心率.
D
本题主要考查了根据几何关系结合双曲线的性质求解离心率的问题,需要根据题意求解对应的点的坐标,再根据几何关系列式求解关于基本量之间的关系,进而化简求得离心率.属于中档题.
11.(2020·
四川广元市·
高三三模(文))已知为坐标原点,双曲线,过双曲线的左焦点作双曲线两条渐近线的平行线,与两渐近线的交点分别为,若四边形的面积为,则双曲线的离心率为()
根据题意求出的坐标,再根据四边形的面积为可建立关于的关系,进而根据双曲线中参数的关系求解得到计算即可.
因为均与渐近线平行,故,故均为等腰三角形.故横坐标均为,又渐近线方程为.
不妨设.又四边形的面积为,故,
即,解得,故.故离心率为.
本题主要考查了双曲线的离心率求解,需要根据题意确定的坐标,进而求得面积的表达式,再列式根据双曲线基本量的关系求解离心率即可.属于中档题.
二、填空题
12.(2021·
黑龙江鹤岗市·
鹤岗一中高二期末(理))已知双曲线的右焦点为,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点,则该双曲线的离心率的取值范围___________.
【答案】
作出图形,根据已知条件可得出与的大小关系,再利用公式可求得双曲线的离心率的取值范围.
如下图所示,双曲线的渐近线方程为,
由于过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点,
由图可知,直线的倾斜角,所以,,
因此,.
所以,该双曲线的离心率为取值范围是.
故答案为:
方法点睛:
求双曲线离心率或离心率范围的两种方法:
一种是直接建立的关系式求或的范围;
另一种是建立、、的齐次关系式,将用、表示,令两边同除以或化为的关系式,进而求解.
13.(2021·
合肥市第六中学高二期末(文))已知双曲线的左焦点为,过点作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为,点在双曲线上,且,则双曲线的离心率为__________.
根据向量条件,求出的坐标,代入双曲线方程,即可得出结论.
由题意,设,直线的方程为,
与渐近线联立,可得的坐标为,
代入双曲线方程可得,,
化简可得,
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
①求出a,c,代入公式;
②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
14.(2021·
内蒙古赤峰市·
高三月考(文))设双曲线,其左焦点为,过作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为点,且与另一条渐近线交于点,若,则双曲线的渐近线方程为__________.
画出图形,由,可得是的中点,再结合题意可得垂直平分,再由双曲线的两条渐近线关于对称,从而可得,进而可求出双曲线渐近线方程
因为,所以是的中点,
因为,所以垂直平分,
所以,
因为双曲线的两条渐近线关于对称,
因为,
所以双曲线的渐近线方程为,
15.(2020·
上海高三专题练习)过双曲线右焦点作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为,与双曲线交于点,若,则双曲线的渐近线方程为___________
不妨设双曲线的一条渐近线方程为,求出点的坐标,由求出点的坐标,将点的坐标代入双曲线的方程,可求得的值,进而解出的值,即可得出双曲线的渐近线方程.
如图,不妨设双曲线的一条渐近线方程为,
则所在直线的斜率为,直线的方程为:
联立,解得,
设,由,得,
所以,解得:
,
即,代入,得,
整理得,则,.
因此,双曲线的渐近线方程为.
.
本题考查双曲线渐近线方程的求解,解答的关键在于求出点的坐标,考查计算能力,属于中等题
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