第三章33332 简单的线性规划问题优秀经典课时作业练习题及答案详解Word格式文档下载.docx
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答案:
A
2.已知x,y满足约束条件使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则a的值为( )
A.-3 B.3 C.-1 D.1
如图,作出可行域,作直线l:
x+ay=0,要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则将l向右上方平移后与直线x+y=5重合,故a=1,选D.
D
3.设x,y满足约束条件则的最大值是( )
A.5B.6
C.8D.10
画出可行域如图阴影部分(含边界),z==2,的几何意义是点M(-1,-1)与可行域内的点P(x,y)连线的斜率,当点P移动到点N(0,4)时,斜率最大,最大值为=5,
∴zmax=2×
5=10.故选D.
4.若x,y满足约束条件则z=x2+y2的最小值是( )
A.2B.
C.4D.5
作出约束条件满足的可行域(如图所示),z=x2+y2表示平面区域内点M(x,y)到原点的距离的平方,由图象,得|OM|的最小值为|OA|,即z=x2+y2的最小值为22+12=5.
5.若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最小值为-6,则k=
( )
A.9B.3
C.-2D.-
作出不等式组对应的平面区域(阴影部分),由z=2x+y,得y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时,直线y=-2x+z的截距最小,此时z最小,即2x+y=-6,由解得即A(-2,-2).又点A也在直线y=k上,所以k=-2.
C
6.若x,y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是________.
如图,作出可行域,
作直线l:
x+2y=0,
将l向右上方平移,过点A(2,0)时,有最小值2,过点B(2,2)时,有最大值6,故z的取值范围为[2,6].
[2,6]
7.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为________元.
设需租赁甲种设备x台,乙种设备y台,
则目标函数为z=200x+300y.
作出其可行域(图略),易知当x=4,y=5时,z=200x+300y有最小值2300元.
2300
8.若实数x,y满足条件则log2(2x+y)的最大值为________.
作出不等式组满足的可行域,如图阴影部分所示,令Z=2x+y,结合图形可知经过x=1,x-y+1=0的交点A(1,2)时,Z有最大值4,此时z=log2(2x+y)的最大值为log24=2.
2
9.设x,y满足求x+y的取值范围.
如图,z=x+y表示直线过可行域时,在y轴上的截距,当目标函数平移至过可行域A点时,z有最小值.联立解得A(2,0).
z最小值=2,z无最大值,
∴x+y∈[2,+∞).
10.已知变量x,y满足
(1)设z=,求z的最小值;
(2)设z=x2+y2,求z的取值范围.
不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.
由
得A;
由得C(1,1);
由得B(5,2).
(1)∵z==,
∴z的最小值即为可行域中的点与原点O连线的斜率的最小值,
观察图形可知zmin=kOB=.
(2)z=x2+y2的几何意义是可行域内的点到原点O的距离的平方,结合图形可知,zmin=|OC|2=2,zmax=|OB|2=29,∴2≤z≤29.
[B组 能力提升]
11.已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则·
的取值范围是( )
A.[-1,0]B.[0,1]
C.[0,2]D.[-1,2]
作出可行域,如图所示,
因为·
=-x+y.
所以设z=-x+y,作l0:
x-y=0,易知过点P(1,1)时,z有最小值,zmin=-1+1=0;
过点Q(0,2)时,z有最大值,
zmax=0+2=2,
所以·
的取值范围是[0,2].
12.已知实数x,y满足条件则z=y-x的最大值为( )
A.-B.0
C.D.1
作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示,
由z=y-x,得y=x+z,由图可知y=()x+z的图象过点A时,z最大.
由A(1,1).
∴zmax=1-=,故选C.
13.在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.将区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=________.
如图,不等式组表示的平面区域为△PMQ及其内部.
因为直线x+y-2=0与直线x+y=0平行,又区域内的点在直线x+y-2=0上的投影构成线段AB,所以|AB|=|PQ|.
由解得P(-1,1),
由解得Q(2,-2).
∴|AB|=|PQ|==3.
3
14.实数x,y满足不等式组则z=|x+2y-4|的最大值为________.
作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.
z=|x+2y-4|=·
,其几何含义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0的距离的倍.
由得B点坐标为(7,9),显然点B到直线x+2y-4=0的距离最大,此时zmax=21.
21
15.实系数方程x2+ax+2b=0的一根在(0,1)之间,另一根在(1,2)之间,求的取值范围.
令f(x)=x2+ax+2b,则方程x2+ax+2b=0的一根在(0,1)内,另一根在(1,2)内的问题转化为f(x)与x轴的两交点分别位于(0,1)和(1,2)之间,由此可得:
即
由平面区域可知(a,b)所满足的条件是三角形区域(如图)内部,且A(-3,1),B(-1,0).又的几何意义是过点(a,b)与D(1,2)的直线斜率,则有=kAD<<kBD=1,即的范围是.
16.某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t救援物资的任务.该公司有8辆载重6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车,有10名驾驶员,每辆卡车每天往返的次数:
A型卡车4次,B型卡车3次;
每辆卡车每天往返的成本费A型为320元,B型为504元.请为公司安排一下,应如何调配车辆,才能使公司所花的成本费最低?
设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆.列表分析数据.
A型车
B型车
限量
车辆数
x
y
10
运物吨数
24x
30y
180
费用
320x
504y
z
由表可知x,y满足线性约束条件
且目标函数z=320x+504y.
作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分(含边界)所示.可知当直线z=320x+504y过A(7.5,0)时,z最小,但A(7.5,0)不是整点,继续向上平移直线z=320x+504y,可知点(8,0)是最优解.这时zmin=320×
8+504×
0=2560(元),即用8辆A型车,0辆B型车,成本费最低.
所以公司每天调出A型卡车8辆时,花费成本最低.
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