四川理工学院2014级研究生有限元分析复习题参考答案Word下载.doc
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二、计算题(80分)
1、对于无体力的平面应力问题,如果一组连续的位移函数、可作为问题的解,试证明该位移函数必须满足。
其中,,m为泊松比。
(20分)
P
x
p/4
y
2Ph
2、建筑在水下的墙体受水压、集中力和集中力偶作用,如图所示。
已知墙体的端部与水平面等高,水的比重为g。
设应力函数为。
试求墙体的应力分量。
3、已知一弹性力学问题的位移解为:
;
式中a为已知常数。
试求应变分量,并指出它们能否满足变形协调条件(即相容方程)。
4、设如图所示三角形悬臂梁,只受自重作用,梁材料的容重为。
若采用纯三次多项式:
作应力函数,式中A、B、C、D为待定常数。
试求此悬臂梁的应力解。
5、矩形截面柱体承受偏心载荷作用,如果不计柱体自身重量,则若应力函数为j=Ay3+By2
试求应力分量。
设O点不动,且其任意微线元不转动,求轴线的挠曲线方程。
l
h/4
h/2
1
O
6矩形截面柱侧面受均布载荷q的作用,如图所示。
试求应力函数及应力分量(不计体力)。
q
h
7、如下图所示:
为一由二杆组成的结构(二杆分别沿X、Y方向)结构参数:
,。
试写出下列FEM分析
(1)写出各单元的刚度矩阵;
(2)写出总刚度矩阵;
(3)求出节点2的位移、;
(4)求各单元应力。
2.
3.
4.
5.(类似)
6.(不全)
4.如图所示三角形悬臂梁只受重力作用,而梁的密度为,试用纯三次的应力函数求解。
a
rg
解:
纯三次的应力函数为
相应的应力分量表达式为
,
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。
现在来考察,如果适当选择各个系数,是否能满足应力边界条件。
上边,,,,没有水平面力,所以有
对上端面的任意x值都应成立,可见
同时,该边界上没有竖直面力,所以有
因此,应力分量可以简化为
,,
斜面,,,,没有面力,所以有
由第一个方程,得
对斜面的任意x值都应成立,这就要求
由第二个方程,得
(1分)
由此解得
(1分),
从而应力分量为
,
设三角形悬臂梁的长为l,高为h,则。
根据力的平衡,固定端对梁的约束反力沿x方向的分量为0,沿y方向的分量为。
因此,所求在这部分边界上合成的主矢应为零,应当合成为反力。
可见,所求应力分量满足梁固定端的边界条件。
6.如图所示的矩形截面的长坚柱,密度为,在一边侧面上受均布剪力,试求应力分量。
b
解:
根据结构的特点和受力情况,可以假定纵向纤维互不挤压,即设。
由此可知
将上式对y积分两次,可得如下应力函数表达式
将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得
这是y的线性方程,但相容方程要求它有无数多的解(全柱内的y值都应该满足它),可见它的系数和自由项都应该等于零,即
,
这两个方程要求
代入应力函数表达式,并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后,便得
对应应力分量为
以上常数可以根据边界条件确定。
左边,,,,沿y方向无面力,所以有
右边,,,,沿y方向的面力为q,所以有
上边,,,,没有水平面力,这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零,即
将的表达式代入,并考虑到C=0,则有
而自然满足。
又由于在这部分边界上没有垂直面力,这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零,即
,
将的表达式代入,则有
由此可得
,,,,
应力分量为
虽然上述结果并不严格满足上端面处(y=0)的边界条件,但按照圣维南原理,在稍远离y=0处这一结果应是适用的。
13
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