高中数学 培优二轮含答案 解析 专题三 第一讲 三角函数的图象与性质Word文件下载.docx
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对称轴:
x=kπ+(k∈Z);
对称中心:
(kπ,0)(k∈Z)
x=
kπ(k∈Z);
(kπ+,0)(k∈Z)
(k∈Z)
周期
2π
π
单调性
单调增区间[2kπ-,2kπ+](k∈Z);
单调减区间
[2kπ+,2kπ+]
(k∈Z)
单调增区间
[2kπ-π,2kπ](k∈Z);
(kπ-,kπ+)(k∈Z)
奇偶性
奇
偶
3.y=Asin(ωx+φ)的图象及性质
(1)五点作图法:
五点的取法:
设X=ωx+φ,X取0,,π,,2π时求相应的x值、y值,再描点作图.
(2)给出图象求函数表达式的题目,比较难求的是φ,一般是从“五点法”中的第一点(-,0)作为突破口.
(3)图象变换
y=sinxy=sin(x+φ)
y=Asin(ωx+φ).
1.(星课堂·
江西)函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为________.
答案 π
解析 y=sin2x+(1-cos2x)=2sin+,
∴T=π.
2.(星课堂·
山东)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( )
A.B.C.0D.-
答案 B
解析 把函数y=sin(2x+φ)沿x轴向左平移个单位后得到函数y=sin2=sin为偶函数,则φ=.
3.(星课堂·
四川)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>
0,-<
φ<
)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )
A.2,-B.2,-
C.4,-D.4,
答案 A
解析 T=-,T=π,∴ω=2,
∴2×
+φ=2kπ+,k∈Z,∴φ=2kπ-,k∈Z.
又φ∈,∴φ=-,选A.
4.(星课堂·
课标全国)已知ω>
0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是( )
A.B.
C.D.(0,2]
解析 取ω=,f(x)=sin,其减区间为,k∈Z,
显然⊆,k∈Z,排除B,C.
取ω=2,f(x)=sin,
其减区间为,k∈Z,
显然⃘,k∈Z,排除D.
5.(星课堂·
安徽)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数.f(x)≤对x∈R恒成立,且
f>
f(π),则f(x)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 C
解析 由∀x∈R,有f(x)≤知,当x=时f(x)取最值,∴f=sin=±
1,
∴+φ=±
+2kπ(k∈Z),
∴φ=+2kπ或φ=-+2kπ(k∈Z),
又∵f>
f(π),∴sin(π+φ)>
sin(2π+φ),
∴-sinφ>
sinφ,∴sinφ<
0.∴φ取-+2kπ(k∈Z).
不妨取φ=-,则f(x)=sin.
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),
∴+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),
∴+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
题型一 三角函数的概念问题
例1 如图,以Ox为始边作角α与β(0<
β<
α<
π),它们终边分别与单位圆相交于点P、Q,已知点P的坐标为(-,).
(1)求的值;
(2)若·
=0,求sin(α+β).
审题破题
(1)先根据三角函数的定义求sinα,cosα,代入求三角函数式子的值;
(2)根据⊥和β范围可求sinβ,cosβ.
解
(1)由三角函数定义得cosα=-,sinα=,
∴原式==
=2cos2α=2×
(-)2=.
(2)∵·
=0,∴α-β=,∴β=α-,
∴sinβ=sin(α-)=-cosα=,
cosβ=cos(α-)=sinα=.
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
=×
+(-)×
=.
反思归纳
(1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据,如果已知角终边上的点,则利用三角函数的定义,可求该角的正弦、余弦、正切值.
(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用,应注意正确选择公式、注意公式应用的条件.
变式训练1
(1)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ等于( )
A.-B.-
C.D.
解析 依题意得tanθ=2,∴cos2θ=cos2θ-sin2θ===-.
(2)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边上一点P(-4,3),则的值为________.
答案 -
解析 原式==tanα.
根据三角函数的定义,得tanα==-,
所以原式=-.
题型二 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
例2 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>
0,ω>
0,|φ|<
)在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)设0<
x<
π,且方程f(x)=m有两个不同的实数根,求实数m的取值范围以及这两个根的和.
审题破题
(1)先由函数图象确定A,ω,再代入点求φ;
(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题,再利用数形结合法求解.
解
(1)由图象知:
A=2,T=-=,
则T=π,所以ω=2.又图象过点,
所以2×
+φ=,即φ=.
所以所求的函数的解析式为f(x)=2sin.
(2)在同一坐标系中画出y=2sin和y=m(m∈R)的图象,如图所示,由图可知,-2<
m<
1或1<
2时,直线y=m与曲线有两个不同的交点,即原方程有两个不同的实数根,故m的取值范围为-2<
2.
当-2<
1时,两根之和为;
当1<
2时,两根之和为.
反思归纳
(1)已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A>
0)的解析式时,常用的方法是待定系数法.由图中的最大、最小值求出A,由周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点,或者搞清点的对应关系);
(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当-2<
2时,直线y=m与曲线有两个不同的交点,即原方程有两个不同的实数根,利用图象的对称性便可求出两根之和.
变式训练2 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>
0,-π<
π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)=2sin
B.f(x)=2sin
C.f(x)=2sin
D.f(x)=2sin
解析 由图象可知A=2,=-=2π,即T=4π.又T==4π,所以ω=,所以函数f(x)=2sin.又f=2sin=2,即sin=1,即-+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,因为-π<
π,所以φ=,所以函数为f(x)=2sin,选B.
题型三 三角函数的性质
例3 已知函数f(x)=4sinωxcos+(ω>
0)的最小正周期为π.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值.
审题破题 利用和差公式、倍角公式将f(x)化为Asin(ωx+φ)的形式,然后求三角函数的最值.
解
(1)f(x)=4sinωx+
=2sinωxcosωx-2sin2ωx+
=sin2ωx+cos2ωx
=2sin.
∵T==π,∴ω=1.
∴f(x)=2sin.
(2)∵-≤x≤,∴-≤2x+≤,
∴-≤sin≤1,即-1≤f(x)≤2,
当2x+=-,即x=-时,f(x)min=-1,
当2x+=,即x=时,f(x)max=2.
反思归纳
(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性,往往是在定义域内,先化简三角函数式,尽量化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式,然后再求解.
(2)对于y=asinωx+bcosωx型的三角函数,要通过引入辅助角化为y=sin(ωx+φ)(cosφ=,sinφ=)的形式来求.
(3)讨论y=Asin(ωx+φ)+B,可以利用换元思想设t=ωx+φ,转化成函数y=Asint+B结合函数的图象解决.
变式训练3
(1)函数y=2sin(x∈[0,π])为增函数的区间是( )
C.D.
解析 因为y=2sin=-2sin,由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即函数的增区间为(k∈Z),所以当k=0时,增区间为,选C.
(2)设函数f(x)=cos(2x+φ)+sin(2x+φ),且其图象关于直线x=0对称,则( )
A.y=f(x)的最小正周期为π,且在上为增函数
B.y=f(x)的最小正周期为π,且在上为减函数
C.y=f(x)的最小正周期为,且在上为增函数
D.y=f(x)的最小正周期为,且在上为减函数
解析 f(x)=2sin,其图象关于直线x=0对称,
∴f(0)=±
2,∴+φ=kπ+,k∈Z.
∴φ=kπ+,又|φ|<
,∴φ=.
∴f(x)=2sin=2cos2x.
∴y=f(x)的最小正周期为π,且在上为减函数.
题型四 三角函数的应用
例4 已知函数f(x)=sinωx·
cosωx+cos2ωx-(ω>
0),直线x=x1,x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为.
(1)求f(x)的表达式;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若关于x的方程g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.
审题破题
(1)首先化简f(x)再根据题意求出最小正周期,然后可求ω,即可得f(x)的表达式;
(2)根据图象平移求出g(x),然后利用换元法并结合图形求解.
解
(1)f(x)=sin2ωx+-
=sin,
由题意知,最小正周期T=2×
=,
T===,所以ω=2,
所以f(x)=sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后,得到y=sin的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin的图象.
所以g(x)=sin.
令2x-=t,∵0≤x≤,∴-≤t≤.
g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,即函数g(x)=sint与y=-k在区间上有且只有一个交点.如图,
由正弦函数的图象可知-≤-k<
或-k=1.
所以-<
k≤或k=-1.
反思归纳 确定函数y=g(x)的解析式后,本题解法
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