名师导学数学江苏理提高版大一轮复习练习22函数的定义域与值域含答案解析Word文档格式.docx
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【解析】1-x(1-x)=x2-x+1=+≥.因此,有0<
≤,所以f(x)的最大值为.
5.(必修1P36习题13改编)已知函数f(x)=x2的值域为{1,4},则这样的函数有 个.
【答案】9
【解析】定义域为两个元素有{-2,-1},{-2,1},{-1,2},{1,2};
定义域为三个元素有{-2,-1,1},{-2,-1,2},{-1,1,2},{-2,1,2};
定义域为四个元素有{-2,-1,1,2},故这样的函数一共有9个.
1.函数的定义域
(1)函数的定义域是构成函数的非常重要的部分,若没有标明定义域,则认为定义域是使得函数解析式有意义的x的取值范围.
(2)分式中分母应不等于0;
偶次根式中被开方数应为非负数,奇次根式中被开方数为一切实数;
零指数幂中底数不等于0.
(3)对数式中,真数必须大于0,底数必须大于0且不等于1,含有三角函数的角要使该三角函数有意义等.
(4)实际问题中还需考虑自变量的实际意义,若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集.
2.求函数值域的主要方法
(1)函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域,对于一些比较简单的函数可直接通过观察法求得值域.
(2)二次函数或可转化为二次函数形式的问题,常用配方法求值域.
(3)分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用分离常数法求值域;
分子、分母中含有二次项的有理函数,常用判别式法求值域(主要适用于定义域为R的函数).
(4)单调函数常根据函数的单调性求值域.
(5)很多函数可拆配成基本不等式的形式,利用基本不等式求值域.
(6)有些函数具有明显的几何意义,可根据几何意义的方法求值域.
(7)只要是能求导数的函数常采用导数的方法求值域.
【要点导学】
要点导学 各个击破
求函数的定义域
例1
(1)函数y=的定义域是 .
(2)若函数f(x)=ln,则函数g(x)=f+f的定义域是 .
【思维引导】
(1)分式函数中分母不等于零;
偶次根式函数,被开方式大于或等于0;
(2)对数式中真数大于0,列出不等式组,求解,对应法则“f”作用下的是f(x)的定义域内的值,同时要记住函数的定义域要用集合或区间表示.
(1)(-3,2)
(2)∪
【解析】
(1)由函数解析式可知6-x-x2>
0,
即x2+x-6<
0,故-3<
x<
2.
(2)由>
0,得f(x)的定义域为-2<
2,
故解得-4<
-或<
4.
【精要点评】
(1)求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集.
(2)已知f(x)的定义域是[a,b],求f(g(x))的定义域,是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围,而已知f(g(x))的定义域是[a,b],指的是x∈[a,b].
【高频考点·
题组强化】
1.(2016·
苏州期中)函数y=ln(x2-x-2)的定义域是 .
(-∞,-1)∪(2,+∞)
【解析】由题意知,x2-x-2>
0,解得x>
2或x<
-1,故函数的定义域为(-∞,-1)∪(2,+∞).
2.函数f(x)=的定义域是 .
(-1,4]
【解析】两个分段区间是(-1,1]和(1,4],取它们的并集得所求函数的定义域为(-1,4].
3.(2014·
山东卷)函数f(x)=的定义域为 .
【答案】∪(2,+∞)
【解析】由题意得解得所以f(x)的定义域为∪(2,+∞).
4.(2014·
珠海模拟)函数y=的定义域为 .
【解析】由题意得解得x>
-,所以函数的定义域为.
5.已知函数f(x)的定义域是[3,10],则函数f(x+1)的定义域是 .
【答案】[2,9]
【解析】因为f(x)的定义域是[3,10],所以使f(x+1)有意义的条件是3≤x+1≤10,即2≤x≤9,所以函数f(x+1)的定义域是[2,9].
求函数的值域
微课1
●问题提出
函数的值域取决于定义域和对应法则,无论采取什么方法求函数的值域,都应先考虑其定义域.有时我们需要求函数在某个区间上的值域,结合函数图象,根据函数图象的分布得出函数的值域.那么,求函数值域的方法有哪些呢?
●典型示例
例2 求下列函数的值域.
(1)y=3x2-x+2,x∈[1,3];
(2)y=;
(3)y=x+4;
(4)y=.
【思维导图】
【规范解答】
(1)(配方法)因为y=3x2-x+2=3+,
所以函数y=3x2-x+2在[1,3]上单调递增.
当x=1时,原函数取得最小值4;
当x=3时,原函数取得最大值26.
所以函数y=3x2-x+2(x∈[1,3])的值域为[4,26].
(2)(分离常数法)y===3+,
因为≠0,所以3+≠3,
所以函数y=的值域为{y|y≠3}.
(3)(换元法)设t=,t≥0,则x=1-t2,
所以原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t≥0),所以y≤5,
所以原函数的值域为(-∞,5].
(4)(基本不等式法)y===x+=x-++,
因为x>
,所以x->
0,所以x-+≥2=,
当且仅当x-=,即x=时取“=”.
所以y≥+,即原函数的值域为.
【精要点评】配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法,但要注意各种方法所适用的函数形式,还要注意函数定义域的限制.换元法多用于无理函数,换元的目的是进行化归,把无理式转化为有理式来解.二次分式型函数求值域,多采用分离出整式再利用基本不等式的方法求解.
●总结归纳
(1)首先我们要掌握初中学过的基本初等函数y=kx,y=kx+b(k≠0),y=ax2+bx+c(a≠0),y=(k≠0)的值域.
(2)求函数值域的常用方法有直接法、逆求法、换元法、配方法、基本不等式法、判别式法、单调性法等.
●题组强化
1.(2016·
苏州期中)函数f(x)=sinx-cosx-2(x>
0)的值域是 .
【答案】[-4,0]
【解析】因为f(x)=sinx-cosx-2=2sin-2,且x>
0,所以sin∈[-1,1],
所以函数f(x)的值域是[-4,0].
2.(2015·
扬州调研)函数y=x-的值域为 .
【解析】方法一:
(换元法)令=t,t≥0,x=,于是y=-t=-(t+1)2+1,
由于t≥0,所以y≤,故函数的值域为.
方法二:
(单调性法)函数的定义域为,且函数y=x-在上单调递增,
所以y≤,故函数的值域为.
海门中学模拟)函数f(x)=的值域是 .
(-∞,2]
【解析】当0<
1时,值域为(-∞,0);
当x≥1时,值域为(-∞,2].故原函数的值域为(-∞,2].
4.(2015·
南通中学模拟)函数y=的值域是 .
(0,5]
【解析】因为2x2-4x+3=2(x-1)2+1≥1,所以0<
≤1,所以0<
y≤5,所以值域为(0,5].
5.(2014·
青阳中学模拟)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则实数m的取值范围是 .
【解析】因为f(x)=x2-3x-4=-,所以f=-.又f(0)=f(3)=-4,
故由二次函数图象可知≤m≤3.
已知函数定义域(值域)求参数的取值范围
例3 若函数y=的定义域为R,求实数a的取值范围.
【思维引导】可先求出使函数有意义的不等式(组),再对其中的参数进行分类讨论即可.
【解答】由题意知当x∈R时,(a2-1)x2+(a-1)x+≥0恒成立.
①当a2-1=0,即时,得a=1,此时有(a2-1)x2+(a-1)x+=1.
可知当x∈R时,(a2-1)x2+(a-1)x+≥0恒成立.
②当a2-1≠0,即时,
有解得1<
a≤9.
综上所述,实数a的取值范围是[1,9].
【精要点评】解决本题的关键是理解函数的定义域是R的意义,并会对函数式进行分类讨论,特别要注意不要遗漏对第一种情况a2-1=0的讨论.
变式
(1)(2014·
常州一中模拟)若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是 .
(2)若函数y=lg(x2+2x+m)的值域是R,则实数m的取值范围是 .
(1)
(2)(-∞,1]
(1)f(x)的定义域为R,
即mx2+4mx+3≠0恒成立.
①当m=0时,符合题意;
②当m≠0时,Δ=(4m)2-4×
m×
3<
即m(4m-3)<
0,所以0<
m<
.
综上所述,实数m的取值范围是.
(2)由题意可知x2+2x+m能取遍一切正实数,从而可知Δ=4-4m≥0,则m≤1.
新定义下的函数值域创新问题
例4 已知函数fM(x)的定义域为实数集R,满足fM(x)=(M是R的非空真子集).在R上有两个非空真子集A,B,且A∩B=,则F(x)=的值域为 .
【思维引导】求F(x)的值域确定fA(x),fB(x)以及(x)的取值探讨x与A,B,A∪B的关系.
【答案】{1}
【解析】因为A,B是R的两个非空真子集,且A∩B=,
画出Venn图如图所示,
(例4)
则实数x与集合A,B的关系可分为x∈A,x∈B,xA且xB三种.
①当x∈A时,根据定义,得fA(x)=1.
因为A∩B=,
所以xB,故fB(x)=0.
又因为A(A∪B),则必有x∈A∪B,
所以fA∪B(x)=1,
所以F(x)===1.
②当x∈B时,根据定义,得fB(x)=1.
所以xA,故fA(x)=0.
又因为B(A∪B),则必有x∈A∪B,
③当xA且xB时,根据定义,
得fA(x)=0,fB(x)=0.
由图可知,显然xA∪B,
故fA∪B(x)=0,
综上,函数的值域中只有一个元素1,即函数的值域为{1}.
(1)如果函数f(x)的定义域为A,那么f(g(x))的定义域是使函数g(x)∈A的x的取值范围.
(2)如果f(g(x))的定义域为A,那么函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域.(3)f(g(x))与f(h(x))联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同.本题以集合之间的关系为背景考查新定义函数值的计算,所以准确利用已知条件梳理各个集合之间的关系是解决该题的关键.可借助韦恩图表示出各个集合,再根据图形的直观性进行分类,简单又直接.
变式 把本例中“A∩B=”变为“x∈A∩B”,其他条件不变,试求之.
【解答】当x∈A∩B时,
因为(A∩B)(A∪B
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- 名师 数学 江苏 提高 一轮 复习 练习 22 函数 定义域 值域 答案 解析