方向导数案例教学.docx

方向导数案例教学.docx

《方向导数案例教学.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《方向导数案例教学.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

方向导数案例教学

方向导数与梯度案例教学

知识点：

方向导数与梯度（MC20631）

1.背景知识与引入方法

曾经讨论了偏导数，偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率.现在讨论多元函数在一点处沿某一方向或任意方向的变化率问题，这种变化率在一些实际问题中也是常常需要考虑的.许多物理现象告诉我们，只考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的.例如,在热传导问题中,需要研究温度函数沿下降方向的变化率;在风向问题中,要考虑气压沿某些方向的变化率等等.研究函数在一点沿某一方向或任一方向的变化率就是方向导数.然后，再由方向导数引出梯度的概念，它在应用中是非常重要的.通过本知识点的学习，可培养学生用数学工具解决实际问题的能力.

2.该知识点讲解方法

方向导数

方向导数的定义

定义1设点（D:

空间或部分空间区域）,l是从引

出的射线（如图）,为其方向向量.在上取一邻近点的动

点P,记如果当时,比式

的极限存在,则称之为函数在点处沿方向的方向导数,记为即

由定义1知,方向导数就是函数沿指定方向对距离的变化率,当时,函数在处沿方向是增加的,时,函数在处沿方向是减小的.

对于一元函数来说,事实上也有方向导数,但仅有两种情形,即点x的左导数和右导数.

另一种表示方法

定义1’函数f在点沿指定方向的方向导数是极限（若

存在的话）

按照柯西的记法,把这个方向导数记成即

其中为方向上的单位向量.

特别,假若f是二元函数则它在点沿方向的方向导数为

其中为方向上的单位向量.

假若f是三元函数则

其中为方向上的单位向量.

方向导数的几何意义

设的几何意义为图的曲面,当限制自变量沿方向l变化时,对应的空间点形成过l的铅垂平面与曲面的交线,（如图）.

这条交线在点M有一条半切线,记此半切线与方向l的

夹角为则由方向导数的定义可得

方向导数的存在性及其计算

定理如果函数在点处可微,则函数在点处沿任意方向的方向导数都存在,且有

（1）

其中是的方向余弦.

证明在射线l上取邻近的动点因函数在点处可微,所以,

其中由于

方向导数的存在性及其计算容易推广到三元函数.如果三元函数在点处可微,则在点处沿射线l的方向导数存在,并且

（2）

其中是的方向余弦.

由上述公式

（1）及

（2）知,计算方向导数只需知道的方向及函数的偏导数.但是务必注意,若函数沿任意方向的方向导数都存在,其偏导数不一定存在;反之,若偏导数存在,方向导数也不一定存在.

注定理的条件只是结论成立的充分条件,即函数在点不可微,函数在点P沿任意射线l的方向导数都可能存在.例如,二元函数

在点两个偏导数都不存在.当然不可微.

事实上,当时,

不存在极限,即函数在点不存在关于x的偏导数.同理可证,它在点

也不存在关于y的偏导数.

可是函数在点沿任意射线l方向导数都存在.

设在点沿任意射线l的方向余弦是在射线l上任意取一点

其中是点到原点的距离.根据方向导数的定义,有

即在点沿任意射线l方向导数都是1.

梯度

在空间的每一个点都可以确定无限多个方向,因此,一个多元函数在某个点也必然有无限多个方向导数.在这无限多个方向导数中,最大的一个（它直接反映了函数在这个点的变化率的数量级）等于多少?

它是沿什么方向达到的?

描述这个最大方向导数及其所沿方向的矢量,就是我们下面讨论的梯度.梯度是场论里的一个基本概念.所谓“场”,它表示空间区域上某种物理量的一种分布.从数学上看,这种分布常常表示为上的一种数值函数或向量函数.能表示为数值函数的场,称为数量场,如温度场、密度场等;能表示为向量函数

的场,称为向量场,如引力场,流速场等.

为了引进梯度的概念,下面我们先来分析一下函数在点处方向导数的公式

它等于下述两个向量的数量积:

其中是方向的单位向量,与点的位置无关,依赖于点的位置,与的方向无关.所以方向导数的公式可以写成

这说明方向导数等于向量在上的投影.只要知道向量,任何方向的方向导数就都清楚了.可见,有着重要意义,在数量场（函数）的研究中十分重要.当与方向一致时,方向导数最大,等于所以,向量的方向是函数在点处变化率最大的方向,其模是这个最大的变化率.

定义2向量是函数在一点取得最大方向导数的方向,也是函数在该点处增长得最快的方向.将这个向量称为函数在一点的梯度（gradient）,记为,即

引用记号称为奈布拉（Nebla）算符,或称为向量微分算子或哈密顿（W.R.Hamilton）算子.则梯度可记为

利用梯度,方向导数可记为

由以上讨论可知,函数在某点的梯度是这样一个向量:

（1）它的方向是函数在该点取得最大方向导数的方向;

（2）它的模为方向导数的最大值:

由于沿梯度方向,函数增长得最快,因此沿梯度的相反方向,函数减少得最快;

（3）它的任一方向上的投影等于沿方向的变化率.

可见,梯度完全刻画了在任一点处的变化情况,因此成为描述数量场的特征的重要参量.

下面对梯度作出几何解释.函数的等高线为

上式两端微分,得

或

由于是曲线l切线方向,它平行于向量故上式表明,梯度

为等高线l上点P处的

法向量,并且从数值较低的等高线指向数

值较高的等高线（如图）.

为了更形象地理解梯度的特征,不妨

将函数的图形想象为一座山,

（如图）.如果你向梯度方向爬山,最陡,最

费力;如果你总是沿着梯度垂直的方向走,

那么你一定上不了山,因为在这种情况下

你总是在一条等高线上走.

梯度的某些物理意义将在例题中说明.

梯度概念可以推广到三元函数或n元函数.以三元函数为例,设在点处可微分,则函数在该点的梯度为

.

它是函数在点P处取得最大方向导数的方向,最大方向导数为

函数在点P处沿方向的方向导数

与二元函数的梯度类似,我们可以对三元函数的梯度作出几何解释.

在函数的等量面

上任一点处,梯度总是垂直于该等量面,而且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面.

梯度运算可以看成一个映射它将一个数量函数映射成一个向量函数.

算子有以下性质:

（1）设则

其中称为拉普拉斯算子;

（2）线性性质:

（为常数）;

（3）

（4）f为可微函数.

3.例题

例1设一金属板上电压的分布为

问在点处,沿什么方向电压升高最快?

沿什么方向电压下降最快?

其速率各为多少?

沿什么方向电压变化最慢?

解由函数的梯度知,函数沿梯度的方向上升最快,沿与梯度相反的方向下降最快,沿与梯度垂直的方向变化最慢.因为电压分布v的梯度

=

所以,在处,沿的方向电压升高最快,沿的方向电压下降最快,其上升或下降的速率都为

因为与垂直的方向为故沿的方向或的方向电压变化最慢.

例5假设位于原点O处有一电量为Q的点电荷,其周围形成一电场,它在空间任一点处产生的电位为

其中是点M到原点O的距离,试求电场强度.

解根据物理学知识得

这说明点电荷形成的电场,其电位梯度与电场强度大小相等,方向相反.

这和下述物理意义是符合的:

电场强度指向电位减小最快的方向.

如果将电荷Q换成质点m,则在原点周围形成引力场,其位能为

则质点m在其周围形成的引力为

由此可知,位能梯度与引力的关系也是大小相等,方向相反.

例2假设在一间门窗关闭的房屋内,主人发现一只蚊子,接着他在屋内点燃了一支蚊香.以蚊香为原点建立空间直角坐标系,经过一段时间,测得屋内任意点处蚊香的烟气浓度为

如果蚊子此时位于点处,试问它将沿着哪个方向飞逃?

逃跑的路线又是什么?

解因为所以u在点处的梯度为

根据梯度的定义,是在点处烟气浓度u增加最快的方向,而

负梯度方向则是在点处烟气浓度减少最快的方向.蚊子虽然不懂梯度,但凭它的本能,它将沿负梯度方向飞逃.

假设蚊子逃跑的路线为空间曲线为参数,且当时,为使蚊子沿烟气浓度减少最快的方向飞逃,曲线上任一点处切线的方向向量与该点处烟气浓度u的负梯度的方向应该相同,即

其中是比例常数.由此可得

消去上述微分方程组中的并注意初始条件,则有

显然这两个方程都是一阶可分离变量方程,易知其解为

这就是蚊子逃跑路线.

例7设可导,其中为点处向径的模,试证

解

由的对等性,有