专题24 数学思想方法教学案高考理数二轮复习精品资料解析版文档格式.docx
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可用函数与方程思想解决的相关问题.
1.函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:
(1)借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;
(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数,把研究的问题化为讨论函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的目的.
2.方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面:
(1)解方程或解不等式;
(2)带参变数的方程或不等式的讨论,常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用;
(3)需要转化为方程的讨论,如曲线的位置关系等;
(4)构造方程或不等式求解问题.
二、数形结合的数学思想
数形结合的数学思想:
包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:
一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;
二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.。
应用数形结合的思想,应注意以下数与形的转化:
数形结合思想解决的问题常有以下几种:
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围;
(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围;
(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系;
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式;
(5)构建立体几何模型研究代数问题;
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题;
(7)构建方程模型,求根的个数;
(8)研究图形的形状、位置关系、性质等.
常见适用数形结合的两个着力点是:
以形助数常用的有:
借助数轴;
借助函数图象;
借助单位圆;
借助数式的结构特征;
借助于解析几何方法.
以数助形常用的有:
借助于几何轨迹所遵循的数量关系;
借助于运算结果与几何定理的结合。
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具体操作时,应注意以下几点:
(1)准确画出函数图象,注意函数的定义域;
(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解.这种思想方法体现在解题中,就是指在处理数学问题时,能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索,促使抽象思维和形象思维的和谐复合,通过对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观为精确,从而使问题得到简捷解决。
1.数形结合的途径
(1)通过坐标系形题数解
借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。
这一方法在解析几何中体现的相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的);
值得强调的是,形题数解时,通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用,可以大大缩短代数推理)
实现数形结合,常与以下内容有关:
①实数与数轴上的点的对应关系;
②函数与图象的对应关系;
③曲线与方程的对应关系;
④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;
⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
。
常见方法有:
①解析法:
建立适当的坐标系(直角坐标系,极坐标系),引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。
②三角法:
将几何问题与三角形沟通,运用三角代数知识获得探求结合的途径。
③向量法:
将几何图形向量化,运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。
把抽象的几何推理化为代数运算。
特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。
(2)通过转化构造数题形解
许多代数结构都有着对应的几何意义,据此,可以将数与形进行巧妙地转化.例如,将a>0与距离互化,将a2与面积互化,将a2+b2+ab=a2+b2-2
与余弦定理沟通,将a≥b≥c>0且b+c>a中的a、b、c与三角形的三边沟通,将有序实数对(或复数)和点沟通,将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)。
另外,函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一,正是基于此,函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。
常见的转换途径为:
①方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题,并借助函数的图象和性质解决相关的问题。
②利用平面向量的数量关系及模
的性质来寻求代数式性质。
(3)构造几何模型。
通过代数式的结构分析,构造出符合代数式的几何图形,如将
与正方形的面积互化,将
与体积互化,将
与勾股定理沟通等等。
(4)利用解析几何中的曲线与方程的关系,重要的公式(如两点间的距离
,点到直线的距离
,直线的斜率,直线的截距)、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。
2.数形结合的原则
(1)等价性原则
在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,但它同时也是抽象而严格证明的诱导。
(2)双向性原则
在数形结合时,既要进行几何直观的分析,又要进行代数抽象的探索,两方面相辅相成,仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的。
例如,在解析几何中,我们主要是运用代数的方法来研究几何问题,但是在许多时候,若能充分地挖掘利用图形的几何特征,将会使得复杂的问题简单化。
(3)简单性原则
就是找到解题思路之后,至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程,则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法,几何问题寻找代数方法。
三、分类讨论的思想
分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合,分类标准等于是增加的一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度.
1.由数学概念引起的分类讨论:
有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.
2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:
有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等.
3.由数学运算要求引起的分类讨论:
如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同时乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等.
4.由图形的不确定性引起的分类讨论:
有的图形类型、位置需要分类,如角的终边所在的象限;
点、线、面的位置关系等.
5.由参数的变化引起的分类讨论:
某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.
6.由实际意义引起的讨论:
此类问题在应用题中,特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.
四、化归与转化的思想
1、化归与转化的思想方法
解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,是自己较熟悉的问题),通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.
2、化归与转化的思想方法应用的主要方向
化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程.化归与转化思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维的转化,多元向一元的转化,高次向低次的转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现.
3、等价转化和非等价转化
转化有等价转化和非等价转化之分.等价转化前后是充要条件,所以尽可能使转化具有等价性;
在不得已的情况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以保持等价性,或对所得结论进行必要的验证.
考点一、运用函数与方程思想解决字母(或式子)的求值或取值范围问题
例1.若函数f(x)=
(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是________.
解析 由题意f(x)的图象如右图,则
∴1<a≤2.
答案 (1,2]
【变式探究】如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续(相切),已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )
A.y=
x3-
x2-x
B.y=
x3+
x2-3x
C.y=
x3-x
D.y=
x2-2x
考点二、运用函数与方程思想解决方程问题
例2、设函数f(x)=
则满足f(f(a))=2f(a)的a取值范围是( )
A.
B.[0,1]
C.
D.[1,+∞)
答案 C
【规律方法】
研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题,通常有两种处理思路:
一是分离参数构建函数,将方程有解转化为求函数的值域;
二是换元,将复杂方程问题转化为熟悉
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