名师导学数学江苏理提高版大一轮复习练习76数列的综合应用含答案解析Word格式文档下载.docx
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【解析】由题知,到2009年1月1日可取回钱总数为a(1+p)8+a(1+p)7+…+a(1+p)=.
1.数列可以与函数、方程、不等式、三角函数、平面向量、解析几何等组成综合问题,灵活地运用等差、等比数列的知识分析问题、解决问题是关键.
2.解答有关数列的实际应用问题,通常可分为三步:
(1)根据题意建立数列模型;
(2)运用数列知识求解数列模型;
(3)检验结果是否符合题意,给出问题的答案.
【要点导学】
要点导学 各个击破
子数列问题
例1 已知在等差数列{an}中,a2=5,前10项和S10=120,若从数列{an}中依次取出第2项、第4项、第8项、…、第2n项,按原顺序组成新数列{bn},求数列{bn}的前n项和Tn.
【解答】设{an}的公差为d,
则
所以an=3+(n-1)·
2=2n+1,
bn==2·
2n+1,
所以Tn=n+2(21+22+…+2n)=n+2·
=2n+2+n-4.
变式 已知{an}为等差数列,公差d≠0,{an}中的部分项组成的数列,…,,…恰为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求kn.
【解答】由题设知,…,即为a1,a5,a17,…成等比数列,
则(a1+4d)2=a1(a1+16d),
因为d≠0,所以a1=2d,
公比q===3,
所以=a1·
qn-1=a1·
3n-1.
又=a1+(kn-1)·
d=a1+(kn-1)·
,
所以a1+(kn-1)·
=a1·
因为a1≠0,所以kn=2×
3n-1-1.
数列与函数、不等式等综合问题
例2 设不等式组所表示的平面区域为Dn,记Dn内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为f(n)(n∈N*).
(1)求f
(1),f
(2)的值及f(n)的表达式.
(2)设Sn为数列{bn}的前n项的和,其中bn=2f(n),是否存在正整数n,t,使得<
成立?
若存在,求出正整数n,t;
若不存在,请说明理由.
【思维引导】
(1)直接把n=1,2代入即可求出f
(1),f
(2)的值;
再把x=1,x=2代入综合求出f(n)的解析式.
(2)先利用bn=2f(n)求出数列{bn}的通项公式,进而求出Sn;
把Sn代入<
,化简得<
,再分t=1以及t>
1求出其对应的n即可说明结论.
【解答】
(1)f
(1)=3,f
(2)=6.
当x=1时,y取值为1,2,3,…,2n,共有2n个格点;
当x=2时,y取值为1,2,3,…,n,共有n个格点.
所以f(n)=n+2n=3n.
(2)因为bn=2f(n)=23n=8n,
所以Sn==(8n-1).
将Sn代入<
. ①
若t=1,<
,即<
,显然n=1;
若t>
1,①式化简为8n>
,不可能成立.
综上,存在正整数n=1,t=1使得<
成立.
【精要点评】本题综合考查了数列、不等式表示的平面区域、不等式恒成立问题等知识.在解题时,要时刻注意n的整数特征.
变式 已知数列{an},{bn}满足a1=,an+bn=1,bn+1=.
(1)求b1,b2,b3,b4;
(2)求数列{bn}的通项公式;
(3)设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1,求当4aSn<
bn恒成立时实数a的取值范围.
(1)由题设得bn+1===,
因为a1=,b1=,
所以b2=,b3=,b4=.
(2)因为bn+1-1=-1,
所以==-1+,
所以数列是以-4为首项、-1为公差的等差数列,
所以=-4-(n-1)=-n-3,
所以bn=1-=.
(3)an=1-bn=,
所以Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=++…+=-=,
所以4aSn-bn=-=.
当(a-1)n2+3(a-2)n-8<
0恒成立即可满足题意,
设f(n)=(a-1)n2+3(a-2)n-8.
当a=1时,f(n)=-3n-8<
0恒成立;
当a>
1时,由二次函数的性质知不可能恒成立;
当a<
1时,对称轴方程为-·
=-<
0.
因为f(n)在[1,+∞)上为单调减函数,
f
(1)=(a-1)+(3a-6)-8=4a-15<
0,
所以a<
,所以a<
1时,4aSn<
bn恒成立.
综上,实数a的取值范围为{a|a≤1}.
数列的实际应用问题
例3 一位幼儿园老师给班上k(k≥3)个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为a0,就先从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的分给第一个小朋友;
再从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的分给第二个小朋友……以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中,然后把盒内糖果的分给第n(n=1,2,3,…,k)个小朋友,分给第n个小朋友后(未加入2块糖果前)盒内剩下的糖果数为an.
(1)当k=3,a0=12时,分别求a1,a2,a3的值.
(2)请用an-1表示an,令bn=(n+1)an,求数列{bn}的通项公式.
(3)是否存在正整数k(k≥3)和非负整数a0,使得数列{an}(n≤k)成等差数列?
如果存在,请求出所有的k和a0;
如果不存在,请说明理由.
(1)当k=3,a0=12时,
a1=(a0+2)-(a0+2)=7,
a2=(a1+2)-(a1+2)=6,
a3=(a2+2)-(a2+2)=6.
(2)由题意知an=(an-1+2)-·
(an-1+2)=(an-1+2),
即(n+1)an=n(an-1+2)=nan-1+2n.
因为bn=(n+1)an,所以bn-bn-1=2n,
所以bn-bn-1=2n,
bn-1-bn-2=2n-2,
…
b1-b0=2,
叠加得bn-b0=n=n(n+1).
又b0=a0,所以bn=n(n+1)+a0.
(3)由bn=n(n+1)+a0,得an=n+.
若存在正整数k(k≥3)和非负整数a0,使得数列{an}(n≤k)成等差数列,
则a1+a3=2a2,
即1+a0+3+=2a0=0,
当a0=0时,an=n对任意正整数k(k≥3),有{an}(n≤k)成等差数列.
【精要点评】数列的应用题多侧重于数列知识的考查.在实际应用中,会出现一些与平常数列知识不一样的概念,如会有a0,n有上限等.
变式 某企业在第1年年初购买一台价值为120万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少,从第2年到第6年,每年年初M的价值比上年年初减少10万元;
从第7年开始,每年年初M的价值为上年年初的75%.
(1)求第n年年初M的价值an的表达式;
(2)设An=,若An大于80万元,则M继续使用,否则需在第n年年初对M进行更新,求证:
需在第9年年初对M进行更新.
(1)当n≤6时,数列{an}是首项为120、公差为-10的等差数列,所以an=120-10(n-1)=130-10n.
当n≥6时,数列{an}是以a6为首项、公比为为等比数列,又a6=70,
所以an=70·
.
因此,第n年年初M的价值an的表达式为
an=
(2)设Sn表示数列{an}的前n项和,由等差及等比数列的求和公式得,当1≤n≤6时,Sn=120n-5n(n-1),
An=120-5(n-1)=125-5n;
当n≥7时,Sn=S6+(a7+a8+…+an)=570+70×
×
4×
=780-210×
An=.
因为{an}是递减数列,所以{An}是递减数列.
又A8==82>
80,
A9==76<
所以需在第9年年初对设备M进行更新.
1.已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和,若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6= .
【答案】63
2.已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,那么数据a1,a2,a3,a4,a5的方差为 .
【答案】8
【解析】由等差数列的性质可得a1,a2,a3,a4,a5这五个数的等差中项为a3,设公差为d,由通项公式可得d=2,所以s2=(4d2+d2+0+d2+4d2)=2d2=8.
3.已知正项等比数列{an}满足:
a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得=4a1,则+的最小值为 .
【解析】设等比数列{an}的公比为q,由a7=a6+2a5,得q2-q-2=0,所以q=2(舍去-1).由=4a1,平方得aman=16,即a12m-1·
a12n-1=16,化简得m+n=6,+=(m+n)=≥,当且仅当n=4,m=2时取等号.
4.某厂去年的产值记为1,若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%,则从今年起到第五年这五年内,这个厂的总产值约为 .(保留一位小数,取1.15≈1.6)
【答案】6.6
【解析】由条件得总产值为1.1+1.12+1.13+1.14+1.15=≈11×
0.6=6.6.
5.(2016·
苏北四市期中)已知数列{an}满足2an+1=an+an+2+k(n∈N*,k∈R),且a1=2,a3+a5=-4.
(1)若k=0,求数列{an}的前n项和Sn;
(2)若a4=-1,求数列{an}的通项公式.
(1)当k=0时,2an+1=an+an+2,
即an+2-an+1=an+1-an,
所以数列{an}是等差数列.
设数列{an}的公差为d,
则解得
所以Sn=na1+d=2n+×
=-n2+n.
(2)由题意知,2a4=a3+a5+k,
即-2=-4+k,所以k=2.
又a4=2a3-a2-2=3a2-2a1-6,
所以a2=3,由2an+1=an+an+2+2,
得(an+2-an+1)-(an+1-an)=-2,
所以数列{an+1-an}是以a2-a1=1为首项、-2为公差的等差数列,
所以an+1-an=-2n+3.
当n≥2时,an-an-1=-2(n-1)+3,
an-1-an-2=-2(n-2)+3,
an-2-an-3=-2(n-3)+3,
a3-a2=-2×
2+3,
a2-a1=-2×
1+3,
累加得an-a1=-2[1+2+…+(n-1)]+3(n-1)(n≥2),
所以an=
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- 名师 数学 江苏 提高 一轮 复习 练习 76 数列 综合 应用 答案 解析
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