拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用.doc
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数学与统计学院2009届毕业论文
分类号
编号
本科生毕业论文(设计)
题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用
作者姓名常正军
专业数学与应用数学
学号291010102
研究类型数学应用方向
指导教师李明图
提交日期2013-3-15
论文原创性声明
本人郑重声明:
所呈交毕业论文,是本人在指导教师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外,本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
论文作者签名:
年月日
摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理,它在微积分中占据极其重要的地位,有着广泛地应用。
关于它的证明,绝大多数教科书采用作辅助函数的方法,然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。
罗尔中值定理是其的特殊形式,而柯西中值定理是其的推广形式,鉴于微分中值定理的广泛地应用,笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造,以及几个方面的应用加以举例。
关键词:
拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用
AbstractLagrangemeanvaluetheoremisthemaintheoremofcalculusthreebasictheorem,Itoccupiesanimportantstatusandroleinthecalculus,haswideapplication.Proofofit,thevastmajorityoftextbooksbyusingthemethodofauxiliaryfunction,andthenusetheconclusionofRolle'stheoremtoprovetheLagrangemeanvaluetheorem.Rollemeanvaluetheoremisaspecialformofit,andCauchy'stheoremisextendedformofit,giventhewidelyapplicationofthedifferentialmeanvaluetheorem.ThispaperwilldiscusstheconstructionofauxiliaryfunctionoftheLagrangemeanvaluetheoremfromseveralfollowingdifferentangles,andseveralapplicationsforexample.
Keyword:
LagrangemeanvaluetheoremTheconstructionofauxiliaryfunctionProofandApplication
目录
1定理的叙述...........................................................1
1.1罗尔(Rolle)中值定理.............................................1
1.2拉格朗日(Larange)中值定理...........................................1
2拉格朗日中值定理证明中辅助函数的构造方法.............................1
2.1借助于数形结合的思想构建辅助函数.....................................1
2.2用行列式构造辅助函数................................................2
2.3借助闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理.............................3
2.4借助待定系数法构造辅助函数..........................................4
2.5借助定积分构造辅助函数..............................................5
2.6借助不定积分构造辅助函数.........................................5
2.7借助坐标轴旋转变换构建辅助函数...................................6
3拉格朗日中值定理的应用......................................................8
3.1拉格朗日中值定理在等式证明中的应用...............................8
3.2拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用.............................9
3.3拉格朗日中值定理在研究函数性态中的应用.............................10
3.4拉格朗日中值定理在极限和导数方面的应用.............................11
3.5拉格朗日中值定理在方程根的存在性方面的应用..........................12
4参考文献.............................................................13
5致谢.................................................................14
拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的及应用
1定理的叙述
1.1罗尔(Rolle)中值定理
若函数满足:
(1)在闭区间上连续;
(2)在开区间内可导;
(3),
则在内至少存在一点,使得=0
图1
1.2拉格朗日(Larange)中值定理
若函数满足:
(1)在闭区间上连续;
(2)在开区间内可导;
则在内至少存在一点,使得
=
图2
2拉格朗日中值定理的证明中辅助函数构造的方法
2.1借助于数形结合的思想构建辅助函数
拉格朗日中值定理的条件与罗尔中值定理的条件相比较,不难发现它们相差的是函在上两端点的函数值.为此,可以构建一个新的函数(要满足的条件:
与有关),即把问题转化为满足罗尔定理的条件,然后利用罗尔定理所得到的结论来证明拉格朗日定理.根据Rolle定理的几何意义,是曲线在上两端点连线的斜率,则弦方程为:
用曲线的纵坐标之差作辅助函数:
(1)
即符合Rolle定理的条件.
证明:
作辅助函数
显然,且满足罗尔中值定理的另两个条件.故至少存在一点,使得
移项后及得
另外,也可以用原点与曲线在上两端点的连线AB平行的直线OL代替弦AB,而直线OL的方程为.因此,用曲线的纵坐标与直线OL的总坐标之差,得到另一辅助函数:
(2)
可以验证在上满足罗尔中值定理条件,具体证明同上.
2.2用行列式构造辅助函数
行列式不仅是高等代数中最基本工具,具有很强的操作性.而且在数学分析中叶也很广泛地应用.这样就有机的将一个函数用行列式表示出来了,大大简化了数学分析繁杂的证明过程.
证明:
构造辅助函数
常见函数在闭区间上是连续的(由连续函数的判定条件),在开区间内是可微的,并且,同理可得:
==
即函数在区间上满足罗尔定理的第三个条件,于是又由罗尔定理,而对求导
即.
2.3借助闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理
区间套定理是数学分析中的一个重要的定理,它同聚点定理、有限覆盖定理、确界原理、数列的单调有界定理和柯西收敛准则一样反映了实数的完备性,也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础.由于它具有较好的构造性,现就利用闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理.
证明:
设函数图形的两个端点分别为和(如图2).
如果线段和曲线所围成的闭区域不是凸集(凸集即在区域内任意两点连线均在此区域内)则截取线段的一部分平行线段与一部分曲线围成的凸集(目的是保证以后所构造的区间构成闭区间套),例如图2中取线段与下半部分曲线所围成的凸集.设或其平行线段(最长平行线段),与所取凸集的两个交点的横坐标分别为、,则(图2中)将线段或者与平行的该凸集的边界线段向着区域的方向平行移动.可得到一系列与线段平行的直线段,其斜率均为
设这些直线段与区域边界曲线的坐标分别为这些坐标构成的区间上又满足
且
即可得定理得证
2.4借助待定系数法构造辅助函数
借助待定系数法也可以构造一个新的辅助函数(要与有关),使它满足罗尔定理的条件三(即在两端点的函数值相等的条件).
设为待定系数,令
要使则需要
即
所以,可做辅助函数为
得到与
(2)式一样的辅助函数
证明:
作辅助函数
经检验,,且满足罗尔定理的另外两个条件.
故至少存在一点,使
即得.
2.5借助定积分构造辅助函数
在不等式的证明中,常常从要证明的结论出发,采用逆推的方法寻求证明的思路.照此,可以从拉格朗日的结论出发.
这里作一个约定:
在上存在,则
,成立
对在上的可积性不作讨论.
设要构造的辅助函数的导数为
其中则辅助函数为
得到与
(1)式相同的辅助函数,证法相同,略.
2.6借助不定积分构造辅助函数
为了寻求证明拉格朗日中值定理的辅助函数,从要证的结出发也可考虑借助不定积分求其原函数
(为任意常数)
经验证,当,即可使
因此,可作辅助函数为
证明:
作辅助函
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